Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(A\), \(BC = 2a\) và \(M\) là trung

Câu hỏi số 560013:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(A\), \(BC = 2a\) và \(M\) là trung điểm của đoạn \(BC\). Biết \(SA\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) và khoảng cách giữa hai đường thẳng \(SB,\,\,AM\) bằng \(\dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\). Thể tích của khối chóp \(S.ABC\) bằng

A. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{3}\).

B. \(\dfrac{{2{a^3}\sqrt 5 }}{9}\).

C. \(\dfrac{{{a^3}}}{3}\).

D. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:560013

Phương pháp giải

- Gọi \(I,\,\,F\) lần lượt là trung điểm \(AC,\,\,SC\). Khi đó \(d\left( {SB,AM} \right) = d\left( {SB,\left( {FAM} \right)} \right) = d\left( {S,\left( {FAM} \right)} \right) = d\left( {I,\left( {FAM} \right)} \right)\)

Kết hợp với giả thiết tính được \(FI\) từ đó suy ra \(SA\).

- Tính thể tích khối chóp.

Giải chi tiết

Gọi \(I,\,\,F\) lần lượt là trung điểm \(AC,\,\,SC\).

Ta có \(MF//SB \Rightarrow d\left( {SB,AM} \right) = d\left( {B,\left( {FAM} \right)} \right) = d\left( {C,\left( {FAM} \right)} \right) = 2d\left( {I,\left( {FAM} \right)} \right)\).

Theo giả thiết ta suy ra \(d\left( {I,\left( {FAM} \right)} \right) = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{6}\).

Ta có tứ diện \(FAMI\) vuông tại \(I\) nên \(\dfrac{1}{{d{{\left( {I,\left( {FAM} \right)} \right)}^2}}} = \dfrac{1}{{I{F^2}}} + \dfrac{1}{{I{A^2}}} + \dfrac{1}{{I{M^2}}}\).

\( \Rightarrow \dfrac{6}{{{a^2}}} = \dfrac{2}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{I{F^2}}} + \dfrac{2}{{{a^2}}} \Rightarrow IF = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow SA = 2IF = a\sqrt 2 \).

Do tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A,\,\,BC = 2a\) nên \(AB = AC = a\sqrt 2 \).

Thể tích của khối chóp \(S.ABC\) là \(V = \dfrac{1}{3}.SA.\dfrac{1}{2}.AB.AC = \dfrac{1}{3}.a\sqrt 2 .\dfrac{1}{2}.a\sqrt 2 .a\sqrt 2 = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{3}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.