Cho hàm số \(f\left( x \right) = a{x^4} + b{x^2} + c\) có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Đặt

Câu hỏi số 560014:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(f\left( x \right) = a{x^4} + b{x^2} + c\) có đồ thị như hình vẽ dưới đây.

Đặt \(g\left( x \right) = f\left( {\sqrt {{x^2} - 4x + 6} } \right) - 2\left( {{x^2} - 4x} \right)\sqrt {{x^2} - 4x + 6} \) \( - 12\sqrt {{x^2} - 4x + 6} + 1\). Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(g\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {1;4} \right]\) bằng

A. \(12 - 2\sqrt {12} \).

B. \( - 12 - 2\sqrt 6 \).

C. \( - 12 - 12\sqrt 6 \).

D. \(12 - 12\sqrt 6 \).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:560014

Phương pháp giải

- Tìm hàm số \(f\left( x \right)\).

- Đặt \(t = \sqrt {{x^2} - 4x + 6} \). Tìm khoảng giá trị của \(t\).

- Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của \(h\left( t \right) = f\left( t \right) - 2{t^3} + 1\).

Giải chi tiết

Từ đồ thị của hàm số ta có \(f\left( x \right) = {x^4} - 2{x^2} - 3 \Rightarrow f'\left( x \right) = 4{x^3} - 4x\).

Đặt \(t = \sqrt {{x^2} - 4x + 6} ,\,\,x \in \left[ {1;4} \right] \Rightarrow t \in \left[ {\sqrt 2 ;\sqrt 6 } \right]\)

Khi đó hàm số \(g\left( x \right)\) trở thành \(h\left( t \right) = f\left( t \right) - 2{t^3} + 1 \Rightarrow h'\left( t \right) = f'\left( t \right) - 6{t^2}\).

\(h'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow f'\left( t \right) - 6{t^2} = 0 \Leftrightarrow 4{t^3} - 6{t^2} - 4t = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0 \notin \left[ {\sqrt 2 ;\sqrt 6 } \right]\\t = - \dfrac{1}{2} \notin \left[ {\sqrt 2 ;\sqrt 6 } \right]\\t = 2 \in \left[ {\sqrt 2 ;\sqrt 6 } \right]\end{array} \right.\)

Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}h\left( {\sqrt 2 } \right) = f\left( {\sqrt 2 } \right) - 2.{\left( {\sqrt 2 } \right)^3} + 1 = - 2 - 4\sqrt 2 \\h\left( 2 \right) = f\left( 2 \right) - {2.2^3} + 1 = - 10\\h\left( {\sqrt 6 } \right) = f\left( {\sqrt 6 } \right) - 2.{\left( {\sqrt 6 } \right)^3} + 1 = 22 - 12\sqrt 6 \end{array} \right.\)

Vậy tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(g\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {1;4} \right]\) bằng \(22 - 12\sqrt 6 + \left( { - 10} \right) = 12 - 12\sqrt 6 \)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.