Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {4; - 2;4} \right),\) \(B\left( { - 2;6;4} \right)\) và

Câu hỏi số 560747:

Vận dụng cao

Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {4; - 2;4} \right),\) \(B\left( { - 2;6;4} \right)\) và đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = - 1\\z = t\end{array} \right.\). Gọi \(M\) là điểm di động thuộc mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) sao cho \(\angle AMB = {90^0}\) và \(N\) là điểm di động thuộc \(d\). Tìm giá trị nhỏ nhất của \(MN\).

A. \(5\sqrt 3 \).

B. \(\sqrt {73} \).

C. \(8\).

D. \(2\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:560747

Phương pháp giải

Đánh giá vị trí của \(M\) và \(N\) để \(MN\) nhỏ nhất. Từ đó tính giá trị nhỏ nhất của \(MN\).

Giải chi tiết

Nhận xét: \(M\) là điểm di động thuộc mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) sao cho \(\angle AMB = {90^0}\).

\( \Rightarrow M\) nằm trên đường tròn \(\left( C \right)\) là giao tuyến của mặt cầu đường kính \(AB\) và mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\).

\(N\) là điểm di động thuộc \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = - 1\\z = t\end{array} \right.\): có một vec tơ chỉ phương là \(\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)\), như vậy \(d \bot \left( {Oxy} \right)\).

\(MN\) nhỏ nhất \( \Rightarrow \) \(N = \left( {Oxy} \right) \cap d \Rightarrow N\left( {5; - 1;0} \right)\).

Mặt cầu đường kính \(AB\) có tâm \(I\left( {1;2;4} \right)\), bán kính \(R = \dfrac{{AB}}{2} = \dfrac{{\sqrt {{6^2} + {8^2} + {0^2}} }}{2} = 5\)

Khoảng cách từ tâm \(I\) đến \(\left( {Oxy} \right)\) là \(h = 4 \Rightarrow \) Bán kính đường tròn \(\left( C \right)\) là \(r = 3\).

Tâm \(K\) của đường tròn \(\left( C \right)\) là hình chiếu của \(I\) lên \(\left( {Oxy} \right)\), có tọa độ là \(K\left( {1;2;0} \right) \Rightarrow KN = \sqrt {{4^2} + {3^2}} = 5 > r\).

Khi đó, \(M,N,\,\left( C \right)\) cùng nằm trong mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) và \(MN\) nhỏ nhất khi và chỉ khi \(M\) là giao điểm của đoạn thẳng \(NK\) và đường tròn \(\left( C \right)\).

Ta có: \(KN = 5,\,KM = r = 3 \Rightarrow MN = 2\),

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(MN\) là 2.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.