Cho hai số phức \({z_1},\,\,{z_2}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1} + 3 - i} \right| + \left| {{z_1} - 4 + 6i} \right|
Cho hai số phức \({z_1},\,\,{z_2}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1} + 3 - i} \right| + \left| {{z_1} - 4 + 6i} \right| = 7\sqrt 2 \) và \(\left| {{z_2} - 2 - 2i} \right| = \dfrac{1}{2}\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \left| {{z_1} + 2{z_2}} \right| = a\sqrt b + c\,\,\left( {a,b \in \mathbb{N}*,\,\,c \in \mathbb{Z}} \right)\). Tính tổng \(a + b + c\).
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
- \(\left| {{z_2} - 2 - 2i} \right| = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \left| { - 2{z_2} + 4 + 4i} \right| = 1\). Gọi \(M\left( {{z_1}} \right),\,\,N\left( { - 2{z_2}} \right)\).
- Biểu diễn số phức \({z_1},\,\, - 2{z_2}\) trên mặt phẳng phức.
- Dựa vào hình vẽ tìm giá trị nhỏ nhất của \(MN\).
Gọi \(A\left( { - 3;1} \right),\,\,B\left( {4; - 6} \right)\). Khi đó \(AB = \sqrt {{{\left( {4 + 3} \right)}^2} + {{\left( { - 6 - 1} \right)}^2}} = 7\sqrt 2 \).
Gọi \(M\) là điểm biểu diễn số phức \({z_1}\). Theo giả thiết ta có \(MA + MB = 7\sqrt 2 = AB\).
\( \Rightarrow \) Quỹ tích điểm M là đoạn thẳng AB.
Ta có: \(\left| {{z_2} - 2 - 2i} \right| = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \left| { - 2{z_2} + 4 + 4i} \right| = 1\)
Gọi \(N\) là điểm biểu diễn số phức \( - 2{z_2}\). Khi đó \(N\) nằm trên đường tròn tâm \(I\left( { - 4; - 4} \right)\) bán kính R = 1.
Phương trình đường thẳng \(AB\) là \(\dfrac{{x + 3}}{7} = \dfrac{{y - 1}}{{ - 7}} \Rightarrow x + y + 2 = 0\).
Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(I\) trên \(AB\). Khi đó \(IH = d\left( {I,AB} \right) = \dfrac{{\left| { - 4 - 4 + 2} \right|}}{{\sqrt 2 }} = 3\sqrt 2 \).
Gọi \(F\) là giao điểm của \(IH\) và đường tròn tâm \(I\).
Rõ ràng \(P = \left| {{z_1} + 2{z_2}} \right| = MN \ge FH = IH - R = 3\sqrt 2 - 1\).
Vậy \(a = 3,\,\,b = 2,\,\,c = - 1 \Rightarrow a + b + c = 4\).
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
