Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho các mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,x - 2y + 2z + 1 = 0,\)

Câu hỏi số 566889:

Vận dụng

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho các mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,x - 2y + 2z + 1 = 0,\) \(\left( Q \right):2x - y + 2z - 1 = 0\). Gọi \(\left( S \right)\) là mặt cầu có tâm thuộc trục hoành, đồng thời \(\left( S \right)\) cắt mặt phẳng \(\left( P \right)\) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng 3 và \(\left( S \right)\) cắt mặt phẳng \(\left( Q \right)\) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng \(r\). Xác định \(r\) sao cho chỉ có đúng một mặt cầu \(\left( S \right)\) thỏa mãn yêu cầu.

A. \(r = \dfrac{{2\sqrt {21} }}{3}\).

B. \(r = \dfrac{{2\sqrt {21} }}{5}\).

C. \(r = \dfrac{{2\sqrt 7 }}{{15}}\).

D. \(r = \dfrac{{\sqrt {10} }}{5}\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:566889

Phương pháp giải

Gọi \(I\left( {a;0;0} \right)\) là tâm mặt cầu \(\left( S \right)\).

Tìm \(r\) sao cho phương trình \({\left( {d\left( {I,\left( P \right)} \right)} \right)^2} + {3^2} = {\left( {d\left( {I,\left( Q \right)} \right)} \right)^2} + {r^2}\) có nghiệm \(a\) duy nhất.

Giải chi tiết

Gọi \(I\left( {a;0;0} \right) \in Ox\) là tâm mặt cầu \(\left( S \right)\), \(R\) là bán kính mặt cầu \(\left( S \right)\).

Ta có: \({d_1} = d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {a + 1} \right|}}{3},\,\,{d_2} = d\left( {I,\left( Q \right)} \right) = \dfrac{{\left| {2a - 1} \right|}}{3}\).

Theo giả thiết ta có \({R^2} = d_1^2 + {3^2} = d_2^2 + {r^2}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{{{\left( {a + 1} \right)}^2}}}{9} + 9 = \dfrac{{{{\left( {2a - 1} \right)}^2}}}{9} + {r^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {a + 1} \right)^2} + 81 = {\left( {2a - 1} \right)^2} + 9{r^2}\\ \Leftrightarrow 3{a^2} - 6a + 9{r^2} - 81 = 0\\ \Leftrightarrow {a^2} - 2a + 3{r^2} - 27 = 0\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Để chỉ có duy nhất một mặt cầu thỏa mãn thì (*) có nghiệm duy nhất

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \Delta ' = 1 - \left( {3{r^2} - 27} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 3{r^2} = 28\\ \Leftrightarrow r = \dfrac{{2\sqrt {21} }}{3}\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.