Có bao nhiêu số nguyên \(x\) sao cho ứng với mỗi \(x\) có không quá 652 số nguyên \(y\) thỏa mãn

Câu hỏi số 566890:

Vận dụng cao

Có bao nhiêu số nguyên \(x\) sao cho ứng với mỗi \(x\) có không quá 652 số nguyên \(y\) thỏa mãn \({\log _4}\left( {{x^2} + y} \right) \ge {\log _3}\left( {x + y} \right)\)?

A. 523.

B. 15.

C. 108.

D. 107.

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:566890

Phương pháp giải

- Xét \(f\left( y \right) = {\log _3}\left( {x + y} \right) - {\log _4}\left( {{x^2} + y} \right)\)

- Chứng minh \(f\left( y \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - x; + \infty } \right)\).

- Giả sử \(y = - x + k\) là nghiệm của bất phương trình \(\left( 1 \right)\) thì \(f\left( y \right) = f\left( { - x + k} \right) \le 0\).

Khi đó \(f\left( y \right) \le 0\) có \(k\) nghiệm.

- Để có không quá 652 số nguyên \(y\) thỏa mãn thì \(f\left( { - x + 653} \right) > 0\).

- Tìm khoảng giá trị của \(x\).

Giải chi tiết

Bất phương trình đã cho\( \Leftrightarrow {\log _3}\left( {x + y} \right) - {\log _4}\left( {{x^2} + y} \right) \le 0\,\,\left( 1 \right)\)

Xét hàm số \(f\left( y \right) = {\log _3}\left( {x + y} \right) - {\log _4}\left( {{x^2} + y} \right)\).

TXĐ: \(D = \left( { - x; + \infty } \right)\).

Với \(\forall x \in \mathbb{Z}\) ta có \({x^2} \ge x\) nên \(f'\left( y \right) = \dfrac{1}{{\left( {x + y} \right)\ln 3}} - \dfrac{1}{{\left( {{x^2} + y} \right)\ln 4}} \ge 0,\,\,\forall y \in D\)

Suy ra hàm số \(f\left( y \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - x; + \infty } \right)\).

Do \(y\) là số nguyên thuộc \(\left( { - x; + \infty } \right)\) nên \(y = - x + k,\,\,k \in \mathbb{N}*\).

Giả sử \(y = - x + k\) là nghiệm của bất phương trình \(\left( 1 \right)\) thì \(f\left( y \right) = f\left( { - x + k} \right) \le 0\).

Mà \( - x + 1 < - x + 2 < ... < - x + k\) và hàm số \(f\left( y \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( { - x; + \infty } \right)\) nên \( - x + 1; - x + 2;...; - x + k\) là nghiệm của bất phương trình (1).

Hay có \(k\) số nguyên \(y\) thỏa mãn yêu cầu với mỗi \(x\).

Để có không quá 652 số nguyên \(y\) thỏa mãn thì \(f\left( { - x + 653} \right) > 0 \Leftrightarrow {\log _3}\left( {653} \right) - {\log _4}\left( {{x^2} - x + 653} \right) > 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\log _4}\left( {{x^2} - x + 653} \right) < {\log _3}\left( {653} \right)\\ \Leftrightarrow {x^2} - x + 653 - {4^{{{\log }_3}\left( {653} \right)}} < 0\\ \Leftrightarrow - 53,5 < x < 54,5\end{array}\)

Mà \(x \in \mathbb{Z}\) nên \(x \in \left\{ { - 53; - 52;... - 1;0;1;...;54} \right\}\).

Vậy có 108 số nguyên \(x\) thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.