Biết đồ thị \(\left( C \right)\) có hàm số \(f\left( x \right) = {x^4} + b{x^2} + c\left( {b,c \in

Câu hỏi số 567263:

Vận dụng

Biết đồ thị \(\left( C \right)\) có hàm số \(f\left( x \right) = {x^4} + b{x^2} + c\left( {b,c \in \mathbb{R}} \right)\) có điểm cực trị là \(A\left( {1;0} \right)\). Gọi \(\left( P \right)\) là parabol có đỉnh \(I\left( {0; - 1} \right)\) và đi qua điểm \(B\left( {2;3} \right)\). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(\left( C \right)\) và \(\left( P \right)\) thuộc khoảng nào sau đây?

A. \(\left( {0;1} \right)\).

B. \(\left( {2;3} \right)\).

C. \(\left( {3;4} \right)\).

D. \(\left( {1;2} \right)\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:567263

Phương pháp giải

Xác định các hàm số của các đồ thị \(\left( C \right)\) và \(\left( P \right)\).

Ứng dụng tích phân vào tính diện tích hình phẳng cần tìm.

Giải chi tiết

+) Đồ thị \(\left( C \right)\) có hàm số \(f\left( x \right) = {x^4} + b{x^2} + c\left( {b,c \in \mathbb{R}} \right)\) có điểm cực trị là \(A\left( {1;0} \right)\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( 1 \right) = 0\\f'\left( 1 \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 + b + c = 0\\4 + 2b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = - 2\\c = 1\end{array} \right.\,\,\\ \Rightarrow \left( C \right):y = f\left( x \right) = {x^4} - 2{x^2} + 1\end{array}\).

+) Giả sử \(\left( P \right)\) có hàm số là \(y = g\left( x \right) = d{x^2} + ex + f\,\,\left( {d \ne 0} \right)\).

Do \(\left( P \right)\) là parabol có đỉnh \(I\left( {0; - 1} \right)\) và đi qua điểm \(B\left( {2;3} \right)\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}g\left( 0 \right) = - 1\\g'\left( 0 \right) = 0\\g\left( 2 \right) = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f = - 1\\e = 0\\4d + 2e + f = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}d = 1\\e = 0\\f = - 1\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow \left( P \right):y = g\left( x \right) = {x^2} - 1\).

+) Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( C \right)\) và \(\left( P \right)\) là:

\({x^4} - 2{x^2} + 1 = {x^2} - 1 \Leftrightarrow {x^4} - 3{x^2} + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \pm 1\\x = \pm \sqrt 2 \end{array} \right.\).

Diện tích hình phẳng cần tìm là:

\(S = \int\limits_{ - \sqrt 2 }^{\sqrt 2 } {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|} dx = \int\limits_{ - \sqrt 2 }^{ - 1} {\left| {{x^4} - 3{x^2} + 2} \right|} dx + \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {{x^4} - 3{x^2} + 2} \right|} dx + \int\limits_1^{\sqrt 2 } {\left| {{x^4} - 3{x^2} + 2} \right|} dx\)\(\begin{array}{l} = - \int\limits_{ - \sqrt 2 }^{ - 1} {\left( {{x^4} - 3{x^2} + 2} \right)} dx + \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {{x^4} - 3{x^2} + 2} \right)} dx - \int\limits_1^{\sqrt 2 } {\left( {{x^4} - 3{x^2} + 2} \right)} dx\\ = - \dfrac{{ - 6 + 4\sqrt 2 }}{5} + \dfrac{{12}}{5} - \dfrac{{ - 6 + 4\sqrt 2 }}{5} = \dfrac{{24 - 8\sqrt 2 }}{5} \approx 2,54 \in \left( {2;3} \right).\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.