Cho hàm số \(f\left( x \right) = - {x^3} + 3x\) và \(g\left( x \right) = \left| {f\left( {2 + \sin x} \right)

Câu hỏi số 567265:

Vận dụng

Cho hàm số \(f\left( x \right) = - {x^3} + 3x\) và \(g\left( x \right) = \left| {f\left( {2 + \sin x} \right) + m} \right|\) (\(m\) là than số thực). Có bao nhiêu giá trị của \(m\) để \(\mathop {\max }\limits_\mathbb{R} g\left( x \right) + \mathop {\min }\limits_\mathbb{R} g\left( x \right) = 50\)?

A. \(0\).

B. \(1\).

C. \(2\).

D. \(3\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:567265

Phương pháp giải

- Đặt \(t = 2 + \sin x\). Khảo sát hàm số \(h\left( t \right) = f\left( t \right) + m\) trên đoạn \(\left[ {1;3} \right]\).

- Từ đó đánh giá GTNN, GTLN của hàm số \(\left| {h\left( t \right)} \right|\) trên đoạn \(\left[ {1;3} \right]\).

- Tìm \(m\) thỏa mãn \(\mathop {\max }\limits_\mathbb{R} g\left( x \right) + \mathop {\min }\limits_\mathbb{R} g\left( x \right) = 50\).

Giải chi tiết

Đặt \(t = 2 + \sin x\). Xét hàm số \(h\left( t \right) = f\left( t \right) + m = - {t^3} + 3t + m\) trên đoạn \(\left[ {1;3} \right]\): \(h'\left( t \right) = - 3{t^2} + 3 \le 0,\forall t \in \left[ {1;3} \right]\).

Giải \(h'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = 1.\)

\( \Rightarrow h\left( t \right)\) nghịch biến trên đoạn \(\left[ {1;3} \right]\).

Hàm số \(h\left( t \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {1;3} \right]\), có: \(h\left( 1 \right) = m + 2,h\left( 3 \right) = - 18 + m\).

+) Nếu \( - 18 + m \le 0 \le m + 2 \Leftrightarrow - 2 \le m \le 18\) thì

\(\begin{array}{l}\mathop {\min }\limits_{\left[ {1;3} \right]} \left| {h\left( x \right)} \right| = 0\\\mathop {\max }\limits_{\left[ {1;3} \right]} \left| {h\left( x \right)} \right| = \max \left\{ {\left| {m + 2} \right|;\left| { - 18 + m} \right|} \right\} = \max \left\{ {m + 2;m - 18} \right\} = m + 2\end{array}\)

Khi đó: \(\mathop {\max }\limits_\mathbb{R} g\left( x \right) + \mathop {\min }\limits_\mathbb{R} g\left( x \right) = 50\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {1;3} \right]} \left| {h\left( x \right)} \right| + \mathop {\min }\limits_{\left[ {1;3} \right]} \left| {h\left( x \right)} \right| = 50\\ \Leftrightarrow m + 2 + 0 = 50 \Leftrightarrow m = 48\,\,\left( L \right)\end{array}\).

+) Nếu \(m < - 2\) thì \(\mathop {\max }\limits_\mathbb{R} g\left( x \right) + \mathop {\min }\limits_\mathbb{R} g\left( x \right) = 50\)

\( \Leftrightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {1;3} \right]} \left| {h\left( x \right)} \right| + \mathop {\min }\limits_{\left[ {1;3} \right]} \left| {h\left( x \right)} \right| = 50\)\( \Leftrightarrow - m - 2 + 18 - m = 50\)\( \Leftrightarrow m = - 16\,\left( {TM} \right)\).

+) Nếu \(m > 18\) thì \(\mathop {\max }\limits_\mathbb{R} g\left( x \right) + \mathop {\min }\limits_\mathbb{R} g\left( x \right) = 50\)

\( \Leftrightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {1;3} \right]} \left| {h\left( x \right)} \right| + \mathop {\min }\limits_{\left[ {1;3} \right]} \left| {h\left( x \right)} \right| = 50 \Leftrightarrow m + 2 + m - 18 = 50\)\( \Leftrightarrow m = 35\,\left( {TM} \right)\).

Vậy các giá trị của tham số \(m\) thỏa mãn yêu cầu đề bài là: \(m = - 16,\,m = 35\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.