Cho khối chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành và \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy.
Cho khối chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành và \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết \(AB = \sqrt 2 a,\) \(AD = 2a,\) \(\angle ABC = {45^ \circ }\) và góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SBC} \right),\left( {SCD} \right)\) bằng \({30^ \circ }\). Thể tích khối chóp đã cho bằng
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
Dựng VTPT của \(\left( P \right),\left( Q \right)\). Xác định góc giữa hai VTPT đó. Và sử dụng định nghĩa góc giữa hai mặt phẳng:
\(ABCD\) là hình bình hành có \(\angle ABC = {45^ \circ } \Rightarrow \angle BAD = {135^ \circ }\)
\( \Rightarrow {S_{ABCD}} = AB.AD.\sin A = a\sqrt 2 .2a.\sin {135^0} = 2{a^2}\).
\(\Delta ABC\) có: \(A{C^2} = B{A^2} + B{C^2} - 2.BA.BC.\cos B\)
\( = 2{a^2} + 4{a^2} - 2.\sqrt 2 a.2a.\dfrac{{\sqrt 2 }}{2} = 2{a^2}\).
\( \Rightarrow AC = a\sqrt 2 = AB \Rightarrow \Delta ABC\) vuông cân tại \(A\).
Gọi \(M\) là trung điểm \(BC \Rightarrow AM \bot BC\).
Mà \(BC \bot SA \Rightarrow BC \bot \left( {SAM} \right)\).
Kẻ \(AK \bot SM \Rightarrow AK \bot \left( {SBC} \right)\,\,\left( {do\,AK \bot BC} \right)\)
Kẻ \(AH \bot SC\). Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot AC\\CD \bot SA\end{array} \right.\,\,\) \( \Rightarrow CD \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow CD \bot AH\) \( \Rightarrow AH \bot \left( {\left( {SCD} \right)} \right)\)
Suy ra: \(\angle \left( {\left( {SBC} \right);\left( {SCD} \right)} \right) = \angle \left( {AK;AH} \right) \Rightarrow \cos \left( {AK;AH} \right) = \cos {30^0} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\).
Ta có: \(AK \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow AK \bot HK \Rightarrow \Delta AHK\)vuông tại \(K\,\, \Rightarrow \cos \angle HAK = \dfrac{{AK}}{{AH}}\).
Giả sử \(SA = x\,\,\left( {x > 0} \right)\).
\(\Delta SAM\) vuông tại \(A,\) đường cao \(AK\)
\( \Rightarrow \dfrac{1}{{A{K^2}}} = \dfrac{1}{{S{A^2}}} + \dfrac{1}{{A{M^2}}}\)\( \Rightarrow \dfrac{1}{{A{K^2}}} = \dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{a^2}}} \Rightarrow AK = \dfrac{{ax}}{{\sqrt {{x^2} + {a^2}} }}\).
\(\Delta SAC\) vuông tại \(A,\) đường cao \(AH\)
\( \Rightarrow \dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{S{A^2}}} + \dfrac{1}{{A{C^2}}}\)\( \Rightarrow \dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{2{a^2}}} \Rightarrow AH = \dfrac{{\sqrt 2 ax}}{{\sqrt {{x^2} + 2{a^2}} }}\).
\( \Rightarrow \dfrac{{\dfrac{{ax}}{{\sqrt {{x^2} + {a^2}} }}}}{{\dfrac{{\sqrt 2 ax}}{{\sqrt {{x^2} + 2{a^2}} }}}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt 2 ax}}{{\sqrt {{x^2} + {a^2}} }} = \dfrac{{\sqrt 3 ax}}{{\sqrt {{x^2} + 2{a^2}} }}\)
\( \Leftrightarrow \sqrt 2 .\sqrt {{x^2} + 2{a^2}} = \sqrt 3 .\sqrt {{x^2} + {a^2}} \)\( \Leftrightarrow 2{x^2} + 4{a^2} = 3{x^2} + 3{a^2}\)\( \Leftrightarrow x = a\,\, \Rightarrow SA = a\).
Thể tích khối chóp đã cho là: \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}.SA.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}.a.2{a^2} = \dfrac{2}{3}{a^3}\).
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
