Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) và \(f'\left( x \right) - f\left( x

Câu hỏi số 567268:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) và \(f'\left( x \right) - f\left( x \right) = \left( {x + 1} \right){e^{3x}}\), với mọi \(x \in \mathbb{R}\). Biết \(f\left( 0 \right) = \dfrac{5}{4}\), giá trị \(f\left( 1 \right)\) bằng

A. \(\dfrac{5}{4}{e^3} + e\).

B. \(\dfrac{3}{4}{e^3} + e\).

C. \(\dfrac{3}{4}{e^3} - e\).

D. \(\dfrac{5}{4}{e^3} - e\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:567268

Phương pháp giải

Sử dụng công thức đạo hàm \({\left( {\dfrac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}} \right)^\prime } = \dfrac{{f'\left( x \right).g\left( x \right) - f\left( x \right).g'\left( x \right)}}{{{g^2}\left( x \right)}}\,\,\left( {g\left( x \right) \ne 0} \right)\).

Giải chi tiết

Với mọi \(x \in \mathbb{R}\), ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,f'\left( x \right) - f\left( x \right) = \left( {x + 1} \right){e^{3x}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{f'\left( x \right).{e^x} - f\left( x \right).{e^x}}}{{{e^{2x}}}} = \left( {x + 1} \right){e^{2x}}\\ \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{{f\left( x \right)}}{{{e^x}}}} \right)^\prime } = \left( {x + 1} \right){e^{2x}}\end{array}\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \int\limits_0^1 {{{\left( {\dfrac{{f\left( x \right)}}{{{e^x}}}} \right)}^\prime }} dx = \int\limits_0^1 {\left( {x + 1} \right){e^{2x}}} dx\\ \Leftrightarrow \left. {\dfrac{{f\left( x \right)}}{{{e^x}}}} \right|_0^1 = \dfrac{1}{2}\int\limits_0^1 {\left( {x + 1} \right)d\left( {{e^{2x}}} \right)} \\ \Leftrightarrow \dfrac{{f\left( 1 \right)}}{e} - \dfrac{{f\left( 0 \right)}}{1} = \dfrac{1}{2}\left[ {\left. {\left( {x + 1} \right){e^{2x}}} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {{e^{2x}}dx} } \right]\\ \Leftrightarrow \dfrac{{f\left( 1 \right)}}{e} - \dfrac{{f\left( 0 \right)}}{1} = \dfrac{1}{2}\left. {\left( {\left( {x + 1} \right){e^{2x}} - \dfrac{1}{2}{e^{2x}}} \right)} \right|_0^1\\ \Leftrightarrow \dfrac{{f\left( 1 \right)}}{e} - \dfrac{5}{4} = \dfrac{1}{2}\left[ {\left( {2{e^2} - \dfrac{1}{2}{e^2}} \right) - \left( {1 - \dfrac{1}{2}} \right)} \right]\\ \Leftrightarrow \dfrac{{f\left( 1 \right)}}{e} - \dfrac{5}{4} = \dfrac{{3{e^2} - 1}}{4}\end{array}\)

\( \Leftrightarrow f\left( 1 \right) = \dfrac{3}{4}{e^3} + e.\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.