Có bao nhiêu số nguyên \(a\) sao cho ứng với mỗi \(a\), tồn tại số thực \(b \ge a\) thoả mãn

Câu hỏi số 567269:

Vận dụng cao

Có bao nhiêu số nguyên \(a\) sao cho ứng với mỗi \(a\), tồn tại số thực \(b \ge a\) thoả mãn \({4^a} = {2^b} + b\) và đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) chứa không quá 5 số nguyên?

A. \(5\).

B. \(10\).

C. \(6\).

D. \(11\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:567269

Giải chi tiết

Ta có: \({4^a} = {2^b} + b \Leftrightarrow {2^b} + b - {4^a} = 0\).

+) Xét hàm số \(f\left( x \right) = {2^x} + x - {4^a}\) có \(f\left( b \right) = {2^b} + b - {4^a} = 0\).

\(f'\left( x \right) = {2^x}\ln 2 + 1 > 0,\forall x \Rightarrow f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Mà \(b \ge a \Rightarrow f\left( b \right) \ge f\left( a \right) \Leftrightarrow f\left( a \right) \le 0 \Leftrightarrow {2^a} + a - {4^a} \le 0\).

Ta có bảng sau:

Yêu cầu đề bài \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( a \right) \le 0\\f\left( {a + 5} \right) > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{2^a} + a - {4^a} \le 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\{2^{a + 5}} + \left( {a + 5} \right) - {4^a} > 0\,\,\,(2)\end{array} \right.\)

BPT (1) luôn đúng với mọi \(a \in \mathbb{Z}\).

BPT \(\left( 2 \right) \Leftrightarrow {2^a}\left( {{2^a} - {2^5}} \right) - \left( {a + 5} \right) < 0\).

+) Ta chứng minh \({2^a}\left( {{2^a} - {2^5}} \right) - \left( {a + 5} \right) \ge 0\) (*), \(\forall a \le - 6,a \in \mathbb{Z}\):

Với \(a = - 6\) ta có: \({2^a}\left( {{2^a} - {2^5}} \right) - \left( {a + 5} \right) = {2^{ - 6}}\left( {{2^{ - 6}} - {2^5}} \right) - \left( { - 6 + 5} \right) = \frac{1}{{{2^{12}}}} + \frac{1}{2} > 0\): Đúng.

Giả sử (*) đúng với \(a = k \le - 6\), tức là \({2^k}\left( {{2^k} - {2^5}} \right) - \left( {k + 5} \right) \ge 0\).

Với \(a = k - 1\), có:

\(\begin{array}{l}{2^{k - 1}}\left( {{2^{k - 1}} - {2^5}} \right) - \left( {k - 1 + 5} \right) = \frac{1}{4}\left[ {{2^k}\left( {{2^k} - {2^7}} \right) - 4k + 16} \right] = \frac{1}{4}\left[ {{2^k}\left( {{2^k} - {2^5}} \right) - \left( {k + 5} \right)} \right] + \frac{1}{4}\left[ { - {{96.2}^k} - 3k + 21} \right]\\ \ge \frac{1}{4}.0 + \frac{1}{4}.\left[ { - {{96.2}^{ - 6}} - 3.\left( { - 6} \right) + 21} \right] = \frac{1}{4}\left( { - \frac{{96}}{{64}} + 18 + 21} \right) > 0.\end{array}\)

\( \Rightarrow \) (*) đúng với \(a = k - 1\).

Vậy (*) đúng với mọi \(a \le - 6\).

\( \Rightarrow {2^a}\left( {{2^a} - {2^5}} \right) - \left( {a + 5} \right) < 0\) không đúng với mọi \(a \in \mathbb{Z},a \le - 6\).

+) Ta chứng minh \({2^a}\left( {{2^a} - {2^5}} \right) - \left( {a + 5} \right) \ge 0\) (*), \(\forall a \ge 6,a \in \mathbb{Z}\):

Với \(a = 6\) ta có: \({2^a}\left( {{2^a} - {2^5}} \right) - \left( {a + 5} \right) = {2^6}\left( {{2^6} - {2^5}} \right) - \left( {6 + 5} \right) = {2^{11}} - 1 > 0\): Đúng.

Giả sử (*) đúng với \(a = k \ge 6\), tức là \({2^k}\left( {{2^k} - {2^5}} \right) - \left( {k + 5} \right) \ge 0\).

Với \(a = k + 1\), có:

\({2^{k + 1}}\left( {{2^{k + 1}} - {2^5}} \right) - \left( {k + 1 + 5} \right) = 4\left[ {{2^k}\left( {{2^k} - {2^3}} \right) - \frac{1}{4}k - \frac{3}{2}} \right] = 4\left[ {{2^k}\left( {{2^k} - {2^5}} \right) - \left( {k + 5} \right)} \right] + 4\left[ {24 + \frac{3}{4}k + \frac{7}{2}} \right] \ge 0\).

\( \Rightarrow \) (*) đúng với \(a = k + 1\).

Vậy (*) đúng với mọi \(a \ge 6\).

\( \Rightarrow {2^a}\left( {{2^a} - {2^5}} \right) - \left( {a + 5} \right) < 0\) không đúng với mọi \(a \in \mathbb{Z},a \le - 6\).

+) Với \( - 5 \le a \le 5\), ta có: \({2^a}\left( {{2^a} - {2^5}} \right) \le 0\) và \( - \left( {a + 5} \right) \le 0 \Rightarrow {2^a}\left( {{2^a} - {2^5}} \right) - \left( {a + 5} \right) \le 0\).

Dấu “=” xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}a = 5\\a = - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow a \in \emptyset \).

Do đó: \({2^a}\left( {{2^a} - {2^5}} \right) - \left( {a + 5} \right) < 0,\forall a \in \left[ { - 5;5} \right]\).

Mà \(a \in \mathbb{Z} \Rightarrow a \in \left\{ { - 5; - 4;...;5} \right\}\): 11 giá trị.

Vậy, có tất cả 11 giá trị của \(a\) thỏa mãn ycđb.

Chọn D

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.