Có bao nhiêu số nguyên \(a\) sao cho ứng với mỗi \(a\), tồn tại số thực \(b \ge a\) thoả mãn
Có bao nhiêu số nguyên \(a\) sao cho ứng với mỗi \(a\), tồn tại số thực \(b \ge a\) thoả mãn \({4^a} = {2^b} + b\) và đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) chứa không quá 5 số nguyên?
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
Ta có: \({4^a} = {2^b} + b \Leftrightarrow {2^b} + b - {4^a} = 0\).
+) Xét hàm số \(f\left( x \right) = {2^x} + x - {4^a}\) có \(f\left( b \right) = {2^b} + b - {4^a} = 0\).
\(f'\left( x \right) = {2^x}\ln 2 + 1 > 0,\forall x \Rightarrow f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
Mà \(b \ge a \Rightarrow f\left( b \right) \ge f\left( a \right) \Leftrightarrow f\left( a \right) \le 0 \Leftrightarrow {2^a} + a - {4^a} \le 0\).
Ta có bảng sau:
Yêu cầu đề bài \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( a \right) \le 0\\f\left( {a + 5} \right) > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{2^a} + a - {4^a} \le 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\{2^{a + 5}} + \left( {a + 5} \right) - {4^a} > 0\,\,\,(2)\end{array} \right.\)
BPT (1) luôn đúng với mọi \(a \in \mathbb{Z}\).
BPT \(\left( 2 \right) \Leftrightarrow {2^a}\left( {{2^a} - {2^5}} \right) - \left( {a + 5} \right) < 0\).
+) Ta chứng minh \({2^a}\left( {{2^a} - {2^5}} \right) - \left( {a + 5} \right) \ge 0\) (*), \(\forall a \le - 6,a \in \mathbb{Z}\):
Với \(a = - 6\) ta có: \({2^a}\left( {{2^a} - {2^5}} \right) - \left( {a + 5} \right) = {2^{ - 6}}\left( {{2^{ - 6}} - {2^5}} \right) - \left( { - 6 + 5} \right) = \frac{1}{{{2^{12}}}} + \frac{1}{2} > 0\): Đúng.
Giả sử (*) đúng với \(a = k \le - 6\), tức là \({2^k}\left( {{2^k} - {2^5}} \right) - \left( {k + 5} \right) \ge 0\).
Với \(a = k - 1\), có:
\(\begin{array}{l}{2^{k - 1}}\left( {{2^{k - 1}} - {2^5}} \right) - \left( {k - 1 + 5} \right) = \frac{1}{4}\left[ {{2^k}\left( {{2^k} - {2^7}} \right) - 4k + 16} \right] = \frac{1}{4}\left[ {{2^k}\left( {{2^k} - {2^5}} \right) - \left( {k + 5} \right)} \right] + \frac{1}{4}\left[ { - {{96.2}^k} - 3k + 21} \right]\\ \ge \frac{1}{4}.0 + \frac{1}{4}.\left[ { - {{96.2}^{ - 6}} - 3.\left( { - 6} \right) + 21} \right] = \frac{1}{4}\left( { - \frac{{96}}{{64}} + 18 + 21} \right) > 0.\end{array}\)
\( \Rightarrow \) (*) đúng với \(a = k - 1\).
Vậy (*) đúng với mọi \(a \le - 6\).
\( \Rightarrow {2^a}\left( {{2^a} - {2^5}} \right) - \left( {a + 5} \right) < 0\) không đúng với mọi \(a \in \mathbb{Z},a \le - 6\).
+) Ta chứng minh \({2^a}\left( {{2^a} - {2^5}} \right) - \left( {a + 5} \right) \ge 0\) (*), \(\forall a \ge 6,a \in \mathbb{Z}\):
Với \(a = 6\) ta có: \({2^a}\left( {{2^a} - {2^5}} \right) - \left( {a + 5} \right) = {2^6}\left( {{2^6} - {2^5}} \right) - \left( {6 + 5} \right) = {2^{11}} - 1 > 0\): Đúng.
Giả sử (*) đúng với \(a = k \ge 6\), tức là \({2^k}\left( {{2^k} - {2^5}} \right) - \left( {k + 5} \right) \ge 0\).
Với \(a = k + 1\), có:
\({2^{k + 1}}\left( {{2^{k + 1}} - {2^5}} \right) - \left( {k + 1 + 5} \right) = 4\left[ {{2^k}\left( {{2^k} - {2^3}} \right) - \frac{1}{4}k - \frac{3}{2}} \right] = 4\left[ {{2^k}\left( {{2^k} - {2^5}} \right) - \left( {k + 5} \right)} \right] + 4\left[ {24 + \frac{3}{4}k + \frac{7}{2}} \right] \ge 0\).
\( \Rightarrow \) (*) đúng với \(a = k + 1\).
Vậy (*) đúng với mọi \(a \ge 6\).
\( \Rightarrow {2^a}\left( {{2^a} - {2^5}} \right) - \left( {a + 5} \right) < 0\) không đúng với mọi \(a \in \mathbb{Z},a \le - 6\).
+) Với \( - 5 \le a \le 5\), ta có: \({2^a}\left( {{2^a} - {2^5}} \right) \le 0\) và \( - \left( {a + 5} \right) \le 0 \Rightarrow {2^a}\left( {{2^a} - {2^5}} \right) - \left( {a + 5} \right) \le 0\).
Dấu “=” xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}a = 5\\a = - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow a \in \emptyset \).
Do đó: \({2^a}\left( {{2^a} - {2^5}} \right) - \left( {a + 5} \right) < 0,\forall a \in \left[ { - 5;5} \right]\).
Mà \(a \in \mathbb{Z} \Rightarrow a \in \left\{ { - 5; - 4;...;5} \right\}\): 11 giá trị.
Vậy, có tất cả 11 giá trị của \(a\) thỏa mãn ycđb.
Chọn D
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
