Có bao nhiêu số nguyên \(y\) thuộc đoạn \(\left[ { - 2022;2022} \right]\) sao cho tồn tại \(x \in

Câu hỏi số 570850:

Vận dụng cao

Có bao nhiêu số nguyên \(y\) thuộc đoạn \(\left[ { - 2022;2022} \right]\) sao cho tồn tại \(x \in \mathbb{R}\) thoả mãn \(12\sqrt[3]{{3y + {{12.2}^x}}} = {2^{3x}} - 3y\)

A. 2028.

B. 2027.

C. 2021.

D. 2022.

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:570850

Phương pháp giải

Dựa vào tính đơn điệu của hàm số, đánh giá nghiệm của phương trình.

Giải chi tiết

Ta có: \(12\sqrt[3]{{3y + {{12.2}^x}}} = {2^{3x}} - 3y\)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}a = {2^x} > 0\\b = \sqrt[3]{{3y + {{12.2}^x}}}\end{array} \right.\). Phương trình đã cho trở thành \(\left\{ \begin{array}{l}12b = {a^3} - 3y\\{b^3} = 3y + 12a\end{array} \right.\,\,\left( 1 \right) \Rightarrow {b^3} + 12b = {a^3} + 12a\) (2).

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {t^3} + 12t:\,\,\,f'\left( t \right) = 3{t^2} + 12 > 0,\forall t \Rightarrow \) Hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Khi đó, (2) \( \Leftrightarrow f\left( b \right) = f\left( a \right) \Leftrightarrow b = a\,\,\).

Hệ phương trình (1) trở thành \({a^3} = 3y + 12a \Leftrightarrow y = \dfrac{1}{3}\left( {{a^3} - 12a} \right)\) (3)

Xét hàm số \(g\left( a \right) = \dfrac{1}{3}\left( {{a^3} - 12a} \right),\,\,a \in \left( {0; + \infty } \right)\), có \(g'\left( a \right) = \dfrac{1}{3}\left( {3{a^2} - 12} \right) = {a^2} - 4\), \(g'\left( a \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 2\\a = - 2\,\left( L \right)\end{array} \right.\).

Hàm số \(g\left( a \right)\) liên tục trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} g\left( a \right) = 0,\,\,g\left( 2 \right) = - \dfrac{{16}}{3},\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } g\left( a \right) = + \infty \).

Phương trình (3) có nghiệm \( \Leftrightarrow y \ge - \dfrac{{16}}{3}\).

Mà \(y \in \mathbb{Z},y \in \left[ { - 2022;2022} \right] \Rightarrow y \in \left\{ { - 5; - 4; - 3;...;2022} \right\}\): 2028 giá trị.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.