Cho đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) như hình vẽ bên dướiBiết

Câu hỏi số 570851:

Vận dụng cao

Cho đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) như hình vẽ bên dưới

Biết đồ thị của hàm số \(y = f\left( x \right)\) là một Parabol đỉnh \(I\) có tung độ bằng \( - \dfrac{1}{2}\) và \(y = g\left( x \right)\) là một hàm số bậc ba. Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là \({x_1},\,{x_2},\,{x_3}\) thoả mãn \({x_1}.\,{x_2}.\,{x_3} = - 6\). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) gần nhất với giá trị nào dưới đây?

A. 6.

B. 7.

C. 5.

D. 8.

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:570851

Phương pháp giải

Xác định hàm các hàm số \(f\left( x \right),g\left( x \right)\).

Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong.

Giải chi tiết

Đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\) là parabol có đỉnh \(I\left( {1; - \dfrac{1}{2}} \right)\) và đi qua các điểm \(\left( {0;0} \right),\left( {2;0} \right)\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - \dfrac{b}{{2a}} = 1\\a + b + c = - \dfrac{1}{2}\\c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = - 2a\\a + b = - \dfrac{1}{2}\\c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{1}{2}\\b = - 1\\c = 0\end{array} \right.\,\,\,\\\, \Rightarrow y = f\left( x \right) = \dfrac{1}{2}{x^2} - x\,\,\left( P \right)\end{array}\).

Đồ thị hàm số bậc ba \(y = g\left( x \right) = m{x^3} + n{x^2} + px + q\) có điểm uốn là \(I\left( {1; - \dfrac{1}{2}} \right)\) và đạt cực trị tại \(x = 0,x = 2\).

(có \(g'\left( x \right) = 3m{x^2} + 2nx + p,\,\,\,g''\left( x \right) = 6mx + 2n\))

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}g''\left( 1 \right) = 0\\g\left( 1 \right) = - \dfrac{1}{2}\\g'\left( 0 \right) = 0\\g'\left( 2 \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6m + 2n = 0\\m + n + p + q = - \dfrac{1}{2}\\p = 0\\12m + 4n + p = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}p = 0\\3m + n = 0\\m + n + q = - \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\) (1)

Khi đó: \(y = g\left( x \right) = m{x^3} + n{x^2} + q\) (trong đó: \(3m + n = 0,m + n + q = - \dfrac{1}{2}\)).

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số:

\(\begin{array}{l}g\left( x \right) - f\left( x \right) = m{x^3} + n{x^2} + q - \dfrac{1}{2}{x^2} + x\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = m{x^3} + \left( {n - \dfrac{1}{2}} \right){x^2} + x + q\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = m\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right)\left( {x - {x_3}} \right)\end{array}\).

Biết rằng hoành độ giao điểm của hai đồ thị là \({x_1},{x_2},{x_3}\) thỏa mãn \({x_1}{x_2}{x_3} = - 6 \Rightarrow q = 6m \Leftrightarrow 6m - q = 0\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \(m = - \dfrac{1}{8},n = \dfrac{3}{8},p = 0,q = - \dfrac{3}{4}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow g\left( x \right) - f\left( x \right) = - \dfrac{1}{8}{x^3} - \dfrac{1}{8}{x^2} + x - \dfrac{3}{4}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = - \dfrac{1}{8}\left( {{x^3} + {x^2} - 8x + 6} \right) = - \dfrac{1}{8}\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + 2x - 6} \right)\end{array}\).

\(g\left( x \right) - f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 1 + \sqrt 7 \\x = - 1 - \sqrt 7 \end{array} \right.\).

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số trên là:

\(\begin{array}{l}S = \int\limits_{ - 1 - \sqrt 7 }^{ - 1 + \sqrt 7 } {\left| {g\left( x \right) - f\left( x \right)} \right|} dx\\\,\,\,\, = - \int\limits_{ - 1 - \sqrt 7 }^1 {\left( { - \dfrac{1}{8}\left( {{x^3} + {x^2} - 8x + 6} \right)} \right)} dx + \int\limits_1^{ - 1 + \sqrt 7 } {\left( { - \dfrac{1}{8}\left( {{x^3} + {x^2} - 8x + 6} \right)} \right)} dx \approx 6,2\end{array}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.