Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác vuông tại \(A,\,\,AB = a,\,\,BC = 2a\) và \(SB\) vuông góc

Câu hỏi số 570967:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác vuông tại \(A,\,\,AB = a,\,\,BC = 2a\) và \(SB\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\). Biết góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\) bằng \({60^0}\). Thể tích của khối chóp \(S.ABC\) bằng

A. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}\).

B. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{12}}\).

C. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 6 }}{4}\).

D. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{2}\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:570967

Phương pháp giải

- Dựng góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\).

- Tính \(SB\).

- Tính thể tích của khối chóp.

Giải chi tiết

Kẻ \(BI \bot SA\,\,\left( {I \in SA} \right)\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}SB \bot AC\\AB \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow AC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow AC \bot BI\)

Mà \(BI \bot SA\,\,\left( {I \in SA} \right)\) nên \(BI \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow BI \bot SC\,\,\left( 1 \right)\).

Kẻ \(BF \bot SC\,\,\left( {F \in SC} \right)\,\,\left( 2 \right)\).

Từ (1) và (2) suy ra \(\left( {BFI} \right) \bot SC\).

Khi đó \(\left( {\left( {SAC} \right),\left( {SBC} \right)} \right) = \angle BFI \Rightarrow \angle BFI = {60^0}\).

Do \(BI \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow BI \bot FI\).

Trong tam giác vuông \(BFI\): \(BI = BF\sin {60^0} \Rightarrow BI = BF.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\)

Ta có: \(BI = \dfrac{{SB.AB}}{{\sqrt {S{B^2} + A{B^2}} }},\,\,BF = \dfrac{{SB.BC}}{{\sqrt {S{B^2} + B{C^2}} }}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{SB.AB}}{{\sqrt {S{B^2} + A{B^2}} }} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.\dfrac{{SB.BC}}{{\sqrt {S{B^2} + B{C^2}} }}\\ \Rightarrow \dfrac{a}{{\sqrt {S{B^2} + {a^2}} }} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.\dfrac{{2a}}{{\sqrt {S{B^2} + 4{a^2}} }}\\ \Rightarrow 3\left( {S{B^2} + {a^2}} \right) = S{B^2} + 4{a^2}\\ \Rightarrow SB = \dfrac{a}{{\sqrt 2 }}\end{array}\)

Vậy thể tích khối chóp đã cho bằng \(V = \dfrac{1}{3}.SB.{S_{ABC}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{a}{{\sqrt 2 }}.\dfrac{1}{2}.a.a\sqrt 3 = \dfrac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{12}}\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.