Trên tập các số phức, xét phương trình \({z^2} - 2mz + {m^2} - 2m = 0\) (\(m\) là tham số thực). Có

Câu hỏi số 570968:

Vận dụng

Trên tập các số phức, xét phương trình \({z^2} - 2mz + {m^2} - 2m = 0\) (\(m\) là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị thực của \(m\) để phương trình đó có nghiệm \({z_0}\) thỏa mãn \(\left| {{z_0}} \right| = 2\)?

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:570968

Phương pháp giải

Xét 3 trường hợp \(\Delta ' > 0,\,\,\Delta ' < 0,\,\,\Delta ' = 0\).

Với \(\Delta ' > 0\) thì phương trình có 2 nghiệm thực phân biệt mà \(\left| {{z_0}} \right| = 2\). Thế vào phương trình đã cho ta tìm được \(m\)

Với \(\Delta ' < 0\) thì phương trình có 2 nghiệm phức phân biệt mà \(\left| {{z_0}} \right| = 2\).

Dùng định lý Viete và chú ý \({z_2} = {\bar z_1},\,\,{\left| {{z_1}} \right|^2} = {z_1}.{z_2}\). Từ đó tìm được \(m\).

Với \(\Delta ' = 0\) ta tìm được \(m\).

Giải chi tiết

Ta có: \(\Delta ' = {m^2} - \left( {{m^2} - 2m} \right) = 2m\)

TH1: \(\Delta ' > 0 \Leftrightarrow m > 0\). Khi đó phương trình có 2 nghiệm thực phân biệt mà \(\left| {{z_0}} \right| = 2\).

Lại có: \(\left| {{z_0}} \right| = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z_0} = 2\\{z_0} = - 2\end{array} \right.\)

Với \({z_0} = 2\) thay vào phương trình đã cho ta được \(4 - 4m + {m^2} - 2m = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 3 + \sqrt 5 \\m = 3 - \sqrt 5 \end{array} \right.\,\,\left( {TM} \right)\)

Với \({z_0} = - 2\) thay vào phương trình đã cho ta được \(4 + 4m + {m^2} - 2m = 0 \Leftrightarrow {\mathop{\rm m}\nolimits} \in \emptyset \)

TH2: \(\Delta ' < 0 \Leftrightarrow m < 0\). Khi đó phương trình có 2 nghiệm phức phân biệt mà \({z_2} = \overline {{z_1}} ,\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = 2\).

Theo định lý Viete ta có: \({m^2} - 2m = {z_1}.{z_2} = {\left| {{z_1}} \right|^2} = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1 + \sqrt 5 \\m = 1 - \sqrt 5 \end{array} \right.\)

Đối chiếu với điều kiện ta được \(m = 1 - \sqrt 5 \).

TH3: \(\Delta ' = 0 \Leftrightarrow m = 0 \Rightarrow {z^2} = 0 \Rightarrow z = 0\) (loại)

Vậy có 3 giá trị thực của \(m\) thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.