Trên tập các số phức, xét phương trình \({z^2} - 2mz + {m^2} - 2m = 0\) (\(m\) là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị thực của \(m\) để phương trình đó có nghiệm \({z_0}\) thỏa mãn \(\left| {{z_0}} \right| = 2\)?

Câu 570968: Trên tập các số phức, xét phương trình \({z^2} - 2mz + {m^2} - 2m = 0\) (\(m\) là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị thực của \(m\) để phương trình đó có nghiệm \({z_0}\) thỏa mãn \(\left| {{z_0}} \right| = 2\)?

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Câu hỏi : 570968

Quảng cáo

Phương pháp giải:

Xét 3 trường hợp \(\Delta ' > 0,\,\,\Delta ' < 0,\,\,\Delta ' = 0\).

Với \(\Delta ' > 0\) thì phương trình có 2 nghiệm thực phân biệt mà \(\left| {{z_0}} \right| = 2\). Thế vào phương trình đã cho ta tìm được \(m\)

Với \(\Delta ' < 0\) thì phương trình có 2 nghiệm phức phân biệt mà \(\left| {{z_0}} \right| = 2\).

Dùng định lý Viete và chú ý \({z_2} = {\bar z_1},\,\,{\left| {{z_1}} \right|^2} = {z_1}.{z_2}\). Từ đó tìm được \(m\).

Với \(\Delta ' = 0\) ta tìm được \(m\).

Đáp án : D
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Ta có: \(\Delta ' = {m^2} - \left( {{m^2} - 2m} \right) = 2m\)

TH1: \(\Delta ' > 0 \Leftrightarrow m > 0\). Khi đó phương trình có 2 nghiệm thực phân biệt mà \(\left| {{z_0}} \right| = 2\).

Lại có: \(\left| {{z_0}} \right| = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z_0} = 2\\{z_0} = - 2\end{array} \right.\)

Với \({z_0} = 2\) thay vào phương trình đã cho ta được \(4 - 4m + {m^2} - 2m = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 3 + \sqrt 5 \\m = 3 - \sqrt 5 \end{array} \right.\,\,\left( {TM} \right)\)

Với \({z_0} = - 2\) thay vào phương trình đã cho ta được \(4 + 4m + {m^2} - 2m = 0 \Leftrightarrow {\mathop{\rm m}\nolimits} \in \emptyset \)

TH2: \(\Delta ' < 0 \Leftrightarrow m < 0\). Khi đó phương trình có 2 nghiệm phức phân biệt mà \({z_2} = \overline {{z_1}} ,\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = 2\).

Theo định lý Viete ta có: \({m^2} - 2m = {z_1}.{z_2} = {\left| {{z_1}} \right|^2} = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1 + \sqrt 5 \\m = 1 - \sqrt 5 \end{array} \right.\)

Đối chiếu với điều kiện ta được \(m = 1 - \sqrt 5 \).

TH3: \(\Delta ' = 0 \Leftrightarrow m = 0 \Rightarrow {z^2} = 0 \Rightarrow z = 0\) (loại)

Vậy có 3 giá trị thực của \(m\) thỏa mãn.

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.