Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(\left( {z + 1 - i} \right)\left( {\bar z + 1 + i} \right) = 5\) và \(P = {\left|

Câu hỏi số 570969:

Vận dụng

Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(\left( {z + 1 - i} \right)\left( {\bar z + 1 + i} \right) = 5\) và \(P = {\left| {z - 2i} \right|^2} - {\left| {z + i} \right|^2}\). Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của \(P\) bằng

A. \( - 9\).

B. \(11\).

C. \(2\).

D. \(20\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:570969

Phương pháp giải

- Gọi \(M\left( {x;y} \right)\) là điểm biểu diễn của \(z\). Biểu diễn số phức \(z\) trong mặt phẳng phức.

- Gọi \(A\left( {0;2} \right),\,\,B\left( { - 1;0} \right)\).

- Biểu diễn \(P\) qua véc tơ \(\overrightarrow {MI} ,\,\,\overrightarrow {BA} \) với \(I\) là tâm đường tròn \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 5\).

- Sử dụng BĐT: \( - 1 \le \cos \alpha \le 1\).

Giải chi tiết

Giả sử \(z = x + yi,\,\,x,y \in \mathbb{R}\). Gọi \(M\left( {x;y} \right)\) là điểm biểu diễn của \(z\).

Khi đó \(\left( {x + 1 + \left( {y - 1} \right)i} \right)\left( {x + 1 + \left( {1 - y} \right)i} \right) = 5 \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 5\)

Suy ra \(M\) thuộc đường tròn tâm \(I\left( { - 1;1} \right),\,\,R = \sqrt 5 \).

Gọi \(A\left( {0;2} \right),\,\,B\left( { - 1;0} \right)\). Khi đó \(AB = \sqrt 5 ,\,\,I{A^2} = 2,\,\,I{B^2} = 1\).

Khi đó \(P = M{A^2} - M{B^2} = {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right)^2} - {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right)^2} = 2\overrightarrow {MI} .\overrightarrow {BA} + I{A^2} - I{B^2} = 2\overrightarrow {MI} .\overrightarrow {BA} + 1\)

Ta có: \(\overrightarrow {MI} .\overrightarrow {BA} = MI.AB.\cos \left( {\overrightarrow {MI} ,\overrightarrow {BA} } \right) = 5\cos \left( {\overrightarrow {MI} ,\overrightarrow {BA} } \right)\).

Vì \( - 1 \le \cos \left( {\overrightarrow {MI} ,\overrightarrow {AB} } \right) \le 1 \Rightarrow - 5 \le \overrightarrow {MI} .\overrightarrow {BA} \le 5\).

Như vậy \( - 9 \le P \le 11\).

Vậy tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của \(P\) bằng 2.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.