Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(\left( {z + 1 - i} \right)\left( {\bar z + 1 + i} \right) = 5\) và \(P = {\left| {z - 2i} \right|^2} - {\left| {z + i} \right|^2}\). Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của \(P\) bằng

Câu 570969: Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(\left( {z + 1 - i} \right)\left( {\bar z + 1 + i} \right) = 5\) và \(P = {\left| {z - 2i} \right|^2} - {\left| {z + i} \right|^2}\). Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của \(P\) bằng

A. \( - 9\).

B. \(11\).

C. \(2\).

D. \(20\).

Câu hỏi : 570969

Quảng cáo

Phương pháp giải:

- Gọi \(M\left( {x;y} \right)\) là điểm biểu diễn của \(z\). Biểu diễn số phức \(z\) trong mặt phẳng phức.

- Gọi \(A\left( {0;2} \right),\,\,B\left( { - 1;0} \right)\).

- Biểu diễn \(P\) qua véc tơ \(\overrightarrow {MI} ,\,\,\overrightarrow {BA} \) với \(I\) là tâm đường tròn \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 5\).

- Sử dụng BĐT: \( - 1 \le \cos \alpha \le 1\).

Đáp án : C
(9) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Giả sử \(z = x + yi,\,\,x,y \in \mathbb{R}\). Gọi \(M\left( {x;y} \right)\) là điểm biểu diễn của \(z\).
Khi đó \(\left( {x + 1 + \left( {y - 1} \right)i} \right)\left( {x + 1 + \left( {1 - y} \right)i} \right) = 5 \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 5\)
Suy ra \(M\) thuộc đường tròn tâm \(I\left( { - 1;1} \right),\,\,R = \sqrt 5 \).
Gọi \(A\left( {0;2} \right),\,\,B\left( { - 1;0} \right)\). Khi đó \(AB = \sqrt 5 ,\,\,I{A^2} = 2,\,\,I{B^2} = 1\).
Khi đó \(P = M{A^2} - M{B^2} = {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right)^2} - {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right)^2} = 2\overrightarrow {MI} .\overrightarrow {BA} + I{A^2} - I{B^2} = 2\overrightarrow {MI} .\overrightarrow {BA} + 1\)
Ta có: \(\overrightarrow {MI} .\overrightarrow {BA} = MI.AB.\cos \left( {\overrightarrow {MI} ,\overrightarrow {BA} } \right) = 5\cos \left( {\overrightarrow {MI} ,\overrightarrow {BA} } \right)\).
Vì \( - 1 \le \cos \left( {\overrightarrow {MI} ,\overrightarrow {AB} } \right) \le 1 \Rightarrow - 5 \le \overrightarrow {MI} .\overrightarrow {BA} \le 5\).
Như vậy \( - 9 \le P \le 11\).
Vậy tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của \(P\) bằng 2.

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.