Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = - 4{x^3} + a{x^2} + bx + c\) có đồ thị cắt trục hoành tại ba

Câu hỏi số 570970:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = - 4{x^3} + a{x^2} + bx + c\) có đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm có hoành độ là \( - 3;\,\, - 1;\,\,1,\,\,F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) là hàm số bậc hai đi qua ba điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y = F\left( x \right)\). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai hàm số \(y = F\left( x \right),\,\,y = g\left( x \right)\) bằng

A. \(\dfrac{{128}}{{15}}\).

B. \(\dfrac{{64}}{{15}}\).

C. 16.

D. 64.

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:570970

Phương pháp giải

Giải chi tiết

Ta có: \(y = f\left( x \right) = - 4{x^3} + a{x^2} + bx + c\) có đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm có hoành độ là \( - 3;\,\, - 1;\,\,1\) nên \(y = - 4\left( {x + 3} \right)\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) = - 4{x^3} - 12{x^2} + 2{x^2} + 12\)

\( \Rightarrow F\left( x \right) = - {x^4} - 4{x^3} + 2{x^2} + 12x + C,\,\,C \in \mathbb{R}\)

Lại có: \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 3 \Rightarrow F\left( { - 3} \right) = 9 + C\\x = 1 \Rightarrow F\left( 1 \right) = 9 + C\\x = - 1 \Rightarrow F\left( { - 1} \right) = - 7 + C\end{array} \right.\)

Giả sử \(g\left( x \right) = m{x^2} + nx + p,\,\,m,n,p \in \mathbb{R}\).

Vì \(g\left( x \right)\) đi qua 3 điểm cực trị nên \(\left\{ \begin{array}{l}9m - 3n + p = 9 + C\\m + n + p = 9 + C\\m - n + p = - 7 + C\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 4\\n = 8\\p = C - 3\end{array} \right.\)

Do đó \(g\left( x \right) = 4{x^2} + 8x + m - 3\)

Xét phương trình \(F\left( x \right) = g\left( x \right) \Leftrightarrow - {x^4} - 4{x^3} + 2{x^2} + 12x + C = 4{x^2} + 8x + C - 3\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^4} + 4{x^3} + 2{x^2} - 4x - 3 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 3\\x = 1\\x = - 1\end{array} \right.\end{array}\)

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai hàm số \(y = F\left( x \right),\,\,y = g\left( x \right)\) bằng \(\int_{ - 3}^1 {\left| {{x^4} + 4{x^3} + 2{x^2} - 4x - 3} \right|dx = } \dfrac{{128}}{{15}}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.