Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = {e^{2x}} + 1,\,\,\forall x \in

Câu hỏi số 575813:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = {e^{2x}} + 1,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\) và \(f\left( 0 \right) = \dfrac{3}{2}\). Biết \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của f(x) thỏa mãn \(F\left( 0 \right) = \dfrac{5}{4}\), khi đó \(F\left( 1 \right)\) bằng:

A. \(\dfrac{{e + 5}}{2}\)

B. \(\dfrac{{{e^2} + 2}}{4}\)

C. \(\dfrac{{{e^2} + 10}}{4}\)

D. \(\dfrac{{e + 1}}{2}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:575813

Phương pháp giải

Tìm \(f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)dx} \). Sử dụng giả thiết \(f\left( 0 \right) = \dfrac{3}{2}\) tìm f(x) tường minh,

Tìm \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} \). sử dụng \(F\left( 0 \right) = \dfrac{5}{4}\) tìm F(x) tường minh.

Tính \(F\left( 1 \right)\).

Giải chi tiết

Ta có: \(f\left( x \right) = \int {f'\left( x \right)dx} = \int {\left( {{e^{2x}} + 1} \right)dx} = \dfrac{1}{2}{e^{2x}} + x + C\).

Vì \(f\left( 0 \right) = \dfrac{3}{2} \Rightarrow \dfrac{1}{2} + C = \dfrac{3}{2} \Leftrightarrow C = 1\).

\( \Rightarrow f\left( x \right) = \dfrac{1}{2}{e^{2x}} + x + 1\).

Ta có: \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {\dfrac{1}{2}{e^{2x}} + x + 1} \right)dx} = \dfrac{1}{4}{e^{2x}} + \dfrac{1}{2}{x^2} + x + C'\)

Vì \(F\left( 0 \right) = \dfrac{5}{4} \Rightarrow \dfrac{1}{4} + C' = \dfrac{5}{4} \Leftrightarrow C' = 1\).

\( \Rightarrow F\left( x \right) = \dfrac{1}{4}{e^{2x}} + \dfrac{1}{2}{x^2} + x + 1\).

Vậy \(F\left( 1 \right) = \dfrac{1}{4}{e^2} + \dfrac{1}{2} + 1 + 1 = \dfrac{{{e^2} + 10}}{4}\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.