Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \dfrac{1}{6}{x^3} + a{x^2} + bx + c\) có đồ thị cắt trục hoành tại

Câu hỏi số 575821:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \dfrac{1}{6}{x^3} + a{x^2} + bx + c\) có đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt. Biết hàm số \(g\left( x \right) = {\left[ {f'\left( x \right)} \right]^2} - 2f''\left( x \right) + {\left[ {f'''\left( x \right)} \right]^2}\) có 3 điểm cực trị \({x_1} < {x_2} < {x_3}\) và \(g\left( {{x_1}} \right) = 2\), \(g\left( {{x_2}} \right) = 5\), \(g\left( {{x_3}} \right) = 1\). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(h\left( x \right) = \dfrac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right) + 1}}\) và trục Ox bằng:

A. \(\dfrac{1}{2}\ln \dfrac{3}{2}\)

B. \(\dfrac{{\ln 6}}{2}\)

C. \(\ln 6\)

D. \(2\ln 6\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:575821

Phương pháp giải

Giải chi tiết

Ta có: \(f'''\left( x \right) = 1\) nên \(g'\left( x \right) = 2f''\left( x \right)f'\left( x \right) - 2f'''\left( x \right)f\left( x \right) - 2f''\left( x \right)f'\left( x \right) = - 2f\left( x \right)\)

Ta có \(h\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) = 0\) nên phương trình h(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2},\,\,{x_3}\) cũng là 3 điểm cực trị của hàm số g(x).

Diện tích cần tính là:

\(\begin{array}{l}S = \int\limits_{{x_1}}^{{x_3}} {\left| {\dfrac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right) + 1}}} \right|dx} = \left| {\int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\dfrac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right) + 1}}dx} } \right| + \left| {\int\limits_{{x_2}}^{{x_3}} {\dfrac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right) + 1}}dx} } \right|\\ = \dfrac{1}{2}\left( {\left| {\int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\dfrac{{g'\left( x \right)}}{{g\left( x \right) + 1}}dx} } \right| + \left| {\int\limits_{{x_2}}^{{x_3}} {\dfrac{{g'\left( x \right)}}{{g\left( x \right) + 1}}dx} } \right|} \right)\\ = \dfrac{1}{2}\left( {\left| {\int\limits_2^5 {\dfrac{{dt}}{{t + 1}}} } \right| + \left| {\int\limits_5^1 {\dfrac{{dt}}{{t + 1}}} } \right|} \right) = \dfrac{{\sqrt 1 }}{2}\left( {\left| {\ln 6 - \ln 3} \right| + \left| {\ln 2 - \ln 6} \right|} \right) = \dfrac{{\ln 6}}{2}\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.