Gọi S là tập hợp tất cả các số phức z sao cho số phức \(w = \dfrac{1}{{\left| z \right| - z}}\) có phần thực bằng \(\dfrac{1}{{20}}\). Xét các số phức \({z_1},{z_2} \in S\) thoả mãn \(\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = 4\), giá trị lớn nhất của \(P = - 5{\left| {{z_1} - 1 - 2i} \right|^2} + 3{\left| {{z_2} - 1 - 2i} \right|^2}\) có dạng \(a + b\sqrt 2 \) với \(a,b \in \mathbb{Z}\). Giá trị của a – b bằng:

Câu 576005: Gọi S là tập hợp tất cả các số phức z sao cho số phức \(w = \dfrac{1}{{\left| z \right| - z}}\) có phần thực bằng \(\dfrac{1}{{20}}\). Xét các số phức \({z_1},{z_2} \in S\) thoả mãn \(\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = 4\), giá trị lớn nhất của \(P = - 5{\left| {{z_1} - 1 - 2i} \right|^2} + 3{\left| {{z_2} - 1 - 2i} \right|^2}\) có dạng \(a + b\sqrt 2 \) với \(a,b \in \mathbb{Z}\). Giá trị của a – b bằng:

A. -290

B. -130

C. -250

D. -170

Câu hỏi : 576005

Đáp án : A
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}w = \dfrac{1}{{\left| z \right| - z}} = \dfrac{1}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} - \left( {x + yi} \right)}} = \dfrac{1}{{\left( {\sqrt {{x^2} + {y^2}} - x} \right) - yi}}\\ = \dfrac{{\left( {\sqrt {{x^2} + {y^2}} - x} \right) + yi}}{{2{x^2} + 2{y^2} - 2x\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}\end{array}\)

Vì số phức w có phần thực bằng \(\dfrac{1}{{20}}\) nên

\(\begin{array}{l}\dfrac{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} - x}}{{2{x^2} + 2{y^2} - 2x\sqrt {{x^2} + {y^2}} }} = \dfrac{1}{{20}}\,\,\left( * \right)\\ \Rightarrow 20\sqrt {{x^2} + {y^2}} - 20x = 2\left( {{x^2} + {y^2}} \right) - 2x\sqrt {{x^2} + {y^2}} \\ \Leftrightarrow 2\left( {{x^2} + {y^2}} \right) - \left( {2x + 20} \right)\sqrt {{x^2} + {y^2}} + 20x = 0\end{array}\)

Đặt \(t = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \,\,\left( {t \ge 0} \right)\), phương trình trở thành:

\(2{t^2} - \left( {2x + 20} \right)t + 20x = 0 \Leftrightarrow {t^2} - \left( {x + 10} \right)t + 10x = 0\)

coi đây là phương trình ẩn t, x là tham số ta có:

\(\Delta = {\left( {x + 10} \right)^2} - 40x = {x^2} - 20x + 100 = {\left( {x - 10} \right)^2} \ge 0\,\,\forall x\)

Phương trình có 2 nghiệm \(\left[ \begin{array}{l}{t_1} = x\\{t_2} = 10\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\).

TH \(t = x\) loại vì khi đó VT(*) bằng 0.

Xét \(t = 10 \Rightarrow {x^2} + {y^2} = 100\).

Suy ra tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là đường tròn (C) tâm O(0;0), bán kính R = 10.

Đặt A(1;2), M, N lần lượt là các điểm biểu diễn \({z_1},\,\,zl2\).

Ta có: \(\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = 4 \Leftrightarrow MN = 4\).

Khi đó:

\(\begin{array}{l}P = - 5{\left| {{z_1} - 1 - 2i} \right|^2} + 3{\left| {{z_2} - 1 - 2i} \right|^2} = - 5M{A^2} + 3N{A^2}\\ = - 5{\left( {\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OA} } \right)^2} + 3{\left( {\overrightarrow {NO} + \overrightarrow {OA} } \right)^2}\\ = - 5M{O^2} + 3N{O^2} - 2O{A^2} - 2\overrightarrow {OA} \left( { - 5\overrightarrow {OM} + 3\overrightarrow {ON} } \right)\end{array}\)

Vì M, B cùng thuộc (C) nên OM = ON = R = 10.

\(\begin{array}{l} \Rightarrow P = - 2{R^2} - 2O{A^2} - 2\overrightarrow {OA} \left( { - 5\overrightarrow {ON} + 3\overrightarrow {ON} } \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = - 210 - 2\overrightarrow {OA} \left( { - 5\overrightarrow {ON} + 3\overrightarrow {ON} } \right)\end{array}\)

Ta có: \({\left| { - 5\overrightarrow {OM} + 3\overrightarrow {ON} } \right|^2} = 25.O{M^2} + 9.O{N^2} - 30\overrightarrow {OM} .\overrightarrow {ON} \).

Mặt khác: \({\left( {\overrightarrow {OM} - \overrightarrow {ON} } \right)^2} = M{N^2}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow O{M^2} + O{N^2} - 2\overrightarrow {OM} .\overrightarrow {ON} = M{N^2}\\ \Leftrightarrow 2\overrightarrow {OM} .\overrightarrow {ON} = 2{R^2} - M{N^2}\end{array}\)

Khi đó: \({\left| { - 5\overrightarrow {OM} + 3\overrightarrow {ON} } \right|^2} = 34{R^2} - 15\left( {2{R^2} - M{N^2}} \right)\)

\( = 34.100 - 15\left( {2.100 - 16} \right) = 640\)

\( \Rightarrow P = - 210 - 2\overrightarrow {OA} .\overrightarrow a = - 210 - 2\overrightarrow {OA} \left| {\overrightarrow a } \right|\cos \left( {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow a } \right)\) với \(\overrightarrow a = - 5\overrightarrow {OM} + 3\overrightarrow {ON} \)

\( \le - 210 + 2\sqrt 5 .\sqrt {640} = - 210 + 80\sqrt 2 \)

\({P_{\min }} = - 210 + 80\sqrt 2 \) khi \(\left( {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow a } \right) = {180^0}\).

Vậy \(a = - 210,\,\,b = 80 \Rightarrow a - b = - 290\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.