Thu gọn các biểu thức sau : a) \(A = {4^{3022}} - {4^{3021}} + {4^{3020}} - {4^{3019}} + ... + {4^2} - 4 +

Câu hỏi số 578868:

Vận dụng

Thu gọn các biểu thức sau :

a) \(A = {4^{3022}} - {4^{3021}} + {4^{3020}} - {4^{3019}} + ... + {4^2} - 4 + 2\) ;

b) \(B = {11^{1022}} + {11^{1021}} + {11^{1020}} + {11^{1019}} + ... + {11^2} + 11 + 1\) ;

c) \(C = {16^{2022}} - {16^{2021}} + {16^{2020}} - {16^{2019}} + ... + {16^2} - 4^2+1\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:578868

Phương pháp giải

\(S = {a^0} + {a^1} + {a^2} + ... + {a^n}\)

+ Tạo ra một dãy mới gần giống dãy trên bằng cách nhân 2 vế của dãy trên với cơ số \(a\)

+ Ta được dãy mới có dạng \(aS = {a^1} + {a^2} + {a^3} + ... + {a^{n + 1}}\)

+ Ta thấy dãy mới này có 1 đoạn từ \({a^1} + ... + {a^n}\) là giống với dãy ban đầu

+ Lấy 2 vế của dãy mới trừ tương ứng với 2 vế của dãy ban đầu ta được \(\left( {a - 1} \right)S = {a^{n + 1}} - {a^0}\)

+ Vậy \(S = \dfrac{{{a^{n + 1}} - {a^0}}}{{a - 1}}\)

+ Lưu ý : Đối với dãy có số mũ của 2 số liên tiếp cách nhau 2 đơn vị ta nên nhân hai vế với \({a^2}\) rồi áp dụng các bước trên.

Giải chi tiết

a) \(A = {4^{3022}} - {4^{3021}} + {4^{3020}} - {4^{3019}} + ... + {4^2} - 4 + 2\)

\(4A = {4^{3023}} - {4^{3022}} + {4^{3021}} - {4^{3020}} + ... + {4^3} - {4^2} + 8\)

\( \Rightarrow A + 4A = {4^{3023}} - 4 + 2 + 8\)

\(5A = {4^{3023}} + 6\)

\( \Rightarrow A = \dfrac{{{4^{3023}} + 6}}{5}\)

b) \(B = {11^{1022}} + {11^{1021}} + {11^{1020}} + {11^{1019}} + ... + {11^2} + 11 + 1\)

\(11B = {11^{1023}} + {11^{1022}} + {11^{1021}} + {11^{1020}} + ... + {11^3} + {11^2} + 11\)

\(\begin{array}{l}11B - B = {11^{1023}} - 1\\\quad \;\;10B = {11^{1023}} - 1\\\quad \quad \;\;B = \dfrac{{{{11}^{1023}} - 1}}{{10}}\end{array}\)

c) \(C = {16^{2022}} - {16^{2021}} + {16^{2020}} - {16^{2019}} + ... + {16^2} - {4^2} + 1\)

\(\begin{array}{l} = {4^{{2^{2022}}}} - {4^{{2^{2021}}}} + {4^{{2^{2020}}}} - {4^{{2^{2019}}}} + ... + {4^{{2^2}}} - {4^2} + 1\\ = {4^{4044}} - {4^{4042}} + {4^{4040}} - {4^{4038}} + ... + {4^4} - {4^2} + 1\end{array}\)

\(\begin{array}{l}{4^2}C = {4^{4046}} - {4^{4044}} + {4^{4042}} - {4^{4040}} + ... + {4^6} - {4^4} + {4^2}\\ \Rightarrow {4^2}C + C = {4^{4046}} + 1\end{array}\)

\(\begin{array}{l}16C + C = {4^{4046}} + 1\\\quad \;\;17C = {4^{4046}} + 1\\\quad \quad \;\;C = \dfrac{{{4^{4046}} + 1}}{{17}}\end{array}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link