Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, trong đó AB // CD và AB = 2CD. Gọi O là giao điểm của

Câu hỏi số 588583:

Vận dụng cao

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, trong đó AB // CD và AB = 2CD. Gọi O là giao điểm của AC và BD, M là điểm trên cạnh SC sao cho SM = 2MC.

a) Chứng minh rằng OM song song với SA.

b) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (MAB). Thiết diện là hình gì?

c) Gọi N là trung điểm của BO, I là giao điểm của (AMN) với SD. Tinh tỷ số \(\dfrac{{SI}}{{ID}}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:588583

Phương pháp giải

a) Sử dụng định lí Ta-lét.

b) Sử dụng định lí: Hai mặt phẳng chứa 2 đường thẳng song song thì cắt nhau theo giao tuyến song song với hai đường thẳng đó.

c) Xác định điểm chung của mặt phẳng (MAB) với các mặt của chóp. Sử dụng định lí Menelaus.

Giải chi tiết

a) Vì AB // CD nên ta có: \(\dfrac{{OC}}{{OA}} = \dfrac{{CD}}{{AB}} = \dfrac{1}{2}\) (Hệ quả định lí Ta-lét)

\( \Rightarrow \dfrac{{CO}}{{CA}} = \dfrac{1}{3} = \dfrac{{CM}}{{CS}}\)

=> OM // SA (định lí Ta-lét đảo).

b) Xét (MAB) và (SCD) có M chung, AB // CD.

\( \Rightarrow \left( {MAB} \right) \cap \left( {SCD} \right) = ME\) // AB // CD \(\left( {E \in SD} \right)\).

Khi đó thiết diện của hình chóp cắt bởi (MAB) là hình thang ABME.

c) Trong (ABCD) kéo dài AN cắt BC tại G.

Xét (AMN) và (SCD) có:

M chung

Trong (ABCD) kéo dài AN cắt CD tại F.

Trong (SCD) kéo dài MF cắt SD tại I.

\( \Rightarrow \left( {AMN} \right) \cap \left( {SCD} \right) = MI\).

=> Thiết diện của hình chóp cắt bởi tam giác AMN là tứ giác AGMI.

Kẻ OH // AB // CD \(\left( {H \in AE} \right)\).

Áp dụng định lí Ta-lét ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{{OH}}{{AB}} = \dfrac{{ON}}{{NB}} = 1 \Rightarrow OH = AB\\\dfrac{{OH}}{{CE}} = \dfrac{{AO}}{{AC}} = \dfrac{2}{3}\\ \Rightarrow CE = \dfrac{3}{2}OH = \dfrac{3}{2}AB = 3CD\end{array}\)

Xét tam giác SCD, cát tuyến FMI, áp dụng định lí Menelaus ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{{IS}}{{ID}}.\dfrac{{FD}}{{FC}}.\dfrac{{MC}}{{MS}} = 1\\ \Leftrightarrow \dfrac{{IS}}{{ID}}.\dfrac{4}{3}.\dfrac{1}{2} = 1\\ \Leftrightarrow \dfrac{{IS}}{{ID}} = \dfrac{3}{2}\end{array}\)

Vậy \(\dfrac{{SI}}{{ID}} = \dfrac{3}{2}\).

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.