Tìm hệ số của số hạng chứ \({x^3}\) trong khai triển của \({\left( {x - \dfrac{2}{{{x^2}}}}

Câu hỏi số 588704:

Thông hiểu

Tìm hệ số của số hạng chứ \({x^3}\) trong khai triển của \({\left( {x - \dfrac{2}{{{x^2}}}} \right)^n},\,\,x \ne 0,\)biết rằng \(n\) là số nguyên dương thoả mãn \(6C_n^3 + A_n^2 = 121n.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:588704

Phương pháp giải

Sử dụng công thức khai triển của \(C_n^k,\,A_n^k\) để biến đổi biểu thức điều kiện đã cho.

Tìm \(n.\)

Sử dụng khai triển nhị thức Niu-tơn để tìm hệ số chứ \({x^3}.\)

Giải chi tiết

Ta có: \(6C_n^3 + A_n^2 = 121n\)

\( \Leftrightarrow 6.\dfrac{{n!}}{{\left( {n - 3} \right)!.3!}} + \dfrac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!}} = 121n\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{n!}}{{\left( {n - 3} \right)!}} + \dfrac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!}} = 121n\)

\( \Leftrightarrow n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right) + n\left( {n - 1} \right) = 121n\)

\( \Leftrightarrow {\left( {n - 1} \right)^2} = 121 \Rightarrow n = 12.\)

Khi đó ta có khai triển \({\left( {x - \dfrac{2}{{{x^2}}}} \right)^{12}},\,\,x \ne 0,\)

Số hạng tổng quát \({T_{k + 1}} = C_{12}^k.{x^{12 - k}}.{\left( {\dfrac{{ - 2}}{{{x^2}}}} \right)^k} = {\left( { - 2} \right)^k}C_{12}^k{x^{12 - 3k}}\)

Vì số hạng chứa \({x^3}\) nên \(12 - 3k = 3 \Leftrightarrow k = 3.\)

Vậy số hạng chứ \({x^3}\)có hệ số là \({\left( { - 2} \right)^3}.C_{12}^3 = - 1760.\)

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.