Cho hai số thực dương \(x,\,\,y\) thỏa mãn \({\log _3}x = {\log _6}y = {\log _2}\left( {x + y} \right)\). Giá

Câu hỏi số 598105:

Vận dụng

Cho hai số thực dương \(x,\,\,y\) thỏa mãn \({\log _3}x = {\log _6}y = {\log _2}\left( {x + y} \right)\). Giá trị của \(\dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{y^2}}}\) bằng

A. 36.

B. 18.

C. 27.

D. 45.

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:598105

Phương pháp giải

- Đặt \(t = {\log _3}x = {\log _6}y = {\log _2}\left( {x + y} \right)\)

- Biểu diễn \(x,\,\,y\) theo \(t\) và tìm \(x,\,\,y\)

- Tính \(\dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{y^2}}}\)

Giải chi tiết

Đặt \(t = {\log _3}x = {\log _6}y = {\log _2}\left( {x + y} \right)\)

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}x = {3^t}\\y = {6^t}\\x + y = {2^t}\end{array} \right. \Rightarrow {3^t} + {6^t} = {2^t} \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{3}{2}} \right)^t} + {3^t} = 1\)

Xét \(f\left( t \right) = {\left( {\dfrac{3}{2}} \right)^t} + {3^t}\)

\(f'\left( t \right) = {\left( {\dfrac{3}{2}} \right)^t}\ln \dfrac{3}{2} + {3^t}\ln 3 > 0,\,\,\forall t \in \mathbb{R}\)

Do đó hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\)

Vậy \(f\left( t \right) = {\left( {\dfrac{3}{2}} \right)^t} + {3^t} = 1\) có nghiệm duy nhất.

Ta thấy \(t = - 1\) là nghiệm duy nhất đó.

Vậy \(\left\{ \begin{array}{l}x = {3^{ - 1}} = \dfrac{1}{3}\\y = {6^{ - 1}} = \dfrac{1}{6}\end{array} \right. \Rightarrow \dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{y^2}}} = 9 + 36 = 45\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.