Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a cạnh bên SA = y (y > 0) và vuông góc với mặt

Câu hỏi số 599539:

Vận dụng

Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a cạnh bên SA = y (y > 0) và vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD). Trên cạnh AD lấy điểm M và đặt AM = x (0 < x < a). Tính thể tích lớn nhất V_max của khối chóp S.ABCM, biết \({x^2} + {y^2} = {a^2}.\)

A. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{8}\).

B. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{9}\).

C. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\).

D. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{7}\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:599539

Phương pháp giải

Sử dụng công thức tính diện tích hình thang: (Đáy lớn + đáy bé). Chiều cao/2.

Tính thể tích \({V_{S.ABCM}} = \dfrac{1}{3}SA.{S_{ABCM}}\).

Rút y theo x. Sử dụng phương pháp tìm GTLN của hàm số trên một khoảng.

Giải chi tiết

Ta có: ABCM là hình thang vuông có hai cạnh đáy AM = x, BC = a, chiều cao AB = a.

\( \Rightarrow {S_{ABCM}} = \dfrac{1}{2}\left( {AM + BC} \right).AB = \dfrac{1}{2}\left( {x + a} \right).a\).

\( \Rightarrow {V_{S.ABCM}} = \dfrac{1}{3}SA.{S_{ABCM}} = \dfrac{1}{6}y\left( {x + a} \right).a\).

Lại có \({x^2} + {y^2} = {a^2} \Leftrightarrow y = \sqrt {{a^2} - {x^2}} \).

\( \Rightarrow {V_{S.ABCM}} = \dfrac{1}{6}\sqrt {{a^2} - {x^2}} \left( {x + a} \right).a\).

Xét hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {{a^2} - {x^2}} \left( {x + a} \right)\) với \(0 < x < a\) ta có:

\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = \dfrac{{ - 2x}}{{2\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}.\left( {x + a} \right) + \sqrt {{a^2} - {x^2}} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{ - x\left( {x + a} \right) + {a^2} - {x^2}}}{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{ - 2{x^2} - ax + {a^2}}}{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}\end{array}\)

Giải \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow - 2{x^2} - ax + {a^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{2}a\\x = - a\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\).

Vậy \({V_{\max }} = \dfrac{1}{6}\sqrt {{a^2} - {{\left( {\dfrac{1}{2}a} \right)}^2}} \left( {\dfrac{1}{2}a + a} \right).a = \dfrac{{\sqrt 3 {a^3}}}{8}\) khi \(x = \dfrac{1}{2}a.\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.