Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau và cùng cắt khối cầu tâm O bán kính \(4\sqrt 3 \)

Câu hỏi số 599540:

Vận dụng

Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau và cùng cắt khối cầu tâm O bán kính \(4\sqrt 3 \) thành hai hình tròn có cùng bán kính. Xét hình nón có đỉnh trùng với tâm của một trong hai hình tròn này và có đáy là hình tròn còn lại. Khi diện tích xung quanh của hình nón là lớn nhất, khoảng cách h giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng:

A. \(h = 4\sqrt 6 .\)

B. \(h = 8\sqrt 3 .\)

C. \(h = 4\sqrt 3 .\)

D. \(h = 8.\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:599540

Phương pháp giải

Gọi (P) và (Q) cắt mặt cầu tâm O theo hai hình tròn có tâm lần lượt là I và J.

Sử dụng định lí Pytago tính bán kính R và đường sinh l của hình nón theo h.

Diện tích xung quanh của hình nón có bán kính đáy R, đường sinh l là \({S_{xq}} = \pi Rl\).

Sử dụng: Tam thức bậc hai \(y = a{x^2} + bx + c\,\,\left( {a < 0} \right)\) đạt giá trị lớn nhất tại \(x = \dfrac{{ - b}}{{2a}}.\)

Giải chi tiết

Gọi (P) và (Q) cắt mặt cầu tâm O theo hai hình tròn có tâm lần lượt là I và J.

Vì (I) và (J) có cùng bán kính nên O là trung điểm của IJ và \(d\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = IJ = h\,\,\left( {0 < h < 8\sqrt 3 } \right)\).

Ta có \(IJ = h \Rightarrow OJ = \dfrac{1}{2}h\).

Xét tam giác vuông OAJ có bán kính hình nón là: \(AJ = \sqrt {O{A^2} - O{J^2}} = \sqrt {48 - \dfrac{{{h^2}}}{4}} = R\).

=> Độ dài đường sinh của hình nón là: \(l = IA = \sqrt {I{J^2} + A{J^2}} = \sqrt {{h^2} + 48 - \dfrac{{{h^2}}}{4}} = \sqrt {48 + \dfrac{{3{h^2}}}{4}} \)

\( \Rightarrow \) Diện tích xung quanh của hình nón là: \(S = \pi Rl = \pi .\sqrt {48 - \dfrac{{{h^2}}}{4}} .\sqrt {48 + \dfrac{{3{h^2}}}{4}} = \pi \sqrt {\left( {48 - \dfrac{{{h^2}}}{4}} \right)\left( {48 + \dfrac{{3{h^2}}}{4}} \right)} \).

Xét hàm số \(f\left( h \right) = \left( {48 - \dfrac{{{h^2}}}{4}} \right)\left( {48 + \dfrac{{3{h^2}}}{4}} \right) = 2304 + 36{h^2} - 12{h^2} - \dfrac{{3{h^4}}}{{16}} = - \dfrac{{3{h^4}}}{{16}} + 24{h^2} + 2304\) đạt giá trị lớn nhất tại \({h^2} = - \dfrac{{24}}{{ - 2.\dfrac{3}{{16}}}} = 64 \Leftrightarrow h = 8\,\,\left( {tm} \right)\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.