Có bao nhiêu cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn \(0 \le x \le 4000\) và \(5\left( {{{25}^y} + 2y} \right) = x + {\log _5}{\left( {x + 1} \right)^5} - 4\)?

Câu 599549: Có bao nhiêu cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn \(0 \le x \le 4000\) và \(5\left( {{{25}^y} + 2y} \right) = x + {\log _5}{\left( {x + 1} \right)^5} - 4\)?

A. 5.

B. 2.

C. 4.

D. 3.

Câu hỏi : 599549

Quảng cáo

Phương pháp giải:

Đặt \(t = {\log _5}\left( {x + 1} \right) \Leftrightarrow x + 1 = {5^t} \Leftrightarrow x = {5^t} - 1\).

Thay vào phương trình đề bài cho, đưa về phương trình đặc trưng.

Xét hàm đặc trưng, từ đó biểu diễn y theo t.

Dựa vào điều kiện chặn nghiệm x, chặn nghiệm t, từ đó chặn nghiệm y và tìm số nguyên y thỏa mãn.

Thay ngược lại tìm số nguyên x theo từng giá trị của y và kết luận.

Đáp án : D
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Đặt \(t = {\log _5}\left( {x + 1} \right) \Leftrightarrow x + 1 = {5^t} \Leftrightarrow x = {5^t} - 1\).

Ta có: \(0 \le x \le 4000 \Leftrightarrow 0 \le {5^t} - 1 \le 4000 \Leftrightarrow 1 \le {5^t} \le 4001 \Leftrightarrow 0 \le t \le {\log _5}4001\).

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}5\left( {{{25}^y} + 2y} \right) = {5^t} - 1 + 5t - 4\\ \Leftrightarrow 5\left( {{{25}^y} + 2y} \right) = {5^t} + 5t - 5\\ \Leftrightarrow {5^{2y}} + 2y = {5^{t - 1}} + t - 1\end{array}\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {5^t} + t\) với \(0 \le t \le {\log _5}4001\) ta có \(f'\left( t \right) = {5^t}\ln 5 + 1 > 0\,\,\forall t\).

Do đó hàm số f(t) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) \( \Rightarrow f\left( {2y} \right) = f\left( {t - 1} \right) \Leftrightarrow 2y = t - 1\).

Vì \(0 \le t \le {\log _5}4001 \Leftrightarrow - 1 \le t - 1 \le {\log _5}4001 - 1\)

\( \Leftrightarrow - 1 \le 2y \le {\log _5}4001 - 1 \Leftrightarrow - \dfrac{1}{2} \le y \le \dfrac{1}{2}\left( {{{\log }_5}4001 - 1} \right)\).

Mà \(y \in \mathbb{Z} \Rightarrow y \in \left\{ {0;1;2;3;4} \right\}\).

Ta có: \(2y = t - 1 = {\log _5}\left( {x + 1} \right) - 1 \Leftrightarrow {\log _5}\left( {x + 1} \right) = 2y + 1 \Leftrightarrow x = {5^{2y + 1}} - 1\) nên ta có bảng sau:

Vậy có 3 cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn.

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.