Có bao nhiêu cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn \(0 \le x \le 4000\) và \(5\left( {{{25}^y} + 2y} \right) = x +
Có bao nhiêu cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn \(0 \le x \le 4000\) và \(5\left( {{{25}^y} + 2y} \right) = x + {\log _5}{\left( {x + 1} \right)^5} - 4\)?
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
Đặt \(t = {\log _5}\left( {x + 1} \right) \Leftrightarrow x + 1 = {5^t} \Leftrightarrow x = {5^t} - 1\).
Thay vào phương trình đề bài cho, đưa về phương trình đặc trưng.
Xét hàm đặc trưng, từ đó biểu diễn y theo t.
Dựa vào điều kiện chặn nghiệm x, chặn nghiệm t, từ đó chặn nghiệm y và tìm số nguyên y thỏa mãn.
Thay ngược lại tìm số nguyên x theo từng giá trị của y và kết luận.
Đặt \(t = {\log _5}\left( {x + 1} \right) \Leftrightarrow x + 1 = {5^t} \Leftrightarrow x = {5^t} - 1\).
Ta có: \(0 \le x \le 4000 \Leftrightarrow 0 \le {5^t} - 1 \le 4000 \Leftrightarrow 1 \le {5^t} \le 4001 \Leftrightarrow 0 \le t \le {\log _5}4001\).
Khi đó ta có:
\(\begin{array}{l}5\left( {{{25}^y} + 2y} \right) = {5^t} - 1 + 5t - 4\\ \Leftrightarrow 5\left( {{{25}^y} + 2y} \right) = {5^t} + 5t - 5\\ \Leftrightarrow {5^{2y}} + 2y = {5^{t - 1}} + t - 1\end{array}\)
Xét hàm số \(f\left( t \right) = {5^t} + t\) với \(0 \le t \le {\log _5}4001\) ta có \(f'\left( t \right) = {5^t}\ln 5 + 1 > 0\,\,\forall t\).
Do đó hàm số f(t) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) \( \Rightarrow f\left( {2y} \right) = f\left( {t - 1} \right) \Leftrightarrow 2y = t - 1\).
Vì \(0 \le t \le {\log _5}4001 \Leftrightarrow - 1 \le t - 1 \le {\log _5}4001 - 1\)
\( \Leftrightarrow - 1 \le 2y \le {\log _5}4001 - 1 \Leftrightarrow - \dfrac{1}{2} \le y \le \dfrac{1}{2}\left( {{{\log }_5}4001 - 1} \right)\).
Mà \(y \in \mathbb{Z} \Rightarrow y \in \left\{ {0;1;2;3;4} \right\}\).
Ta có: \(2y = t - 1 = {\log _5}\left( {x + 1} \right) - 1 \Leftrightarrow {\log _5}\left( {x + 1} \right) = 2y + 1 \Leftrightarrow x = {5^{2y + 1}} - 1\) nên ta có bảng sau:
Vậy có 3 cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn.
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
