Cho phương trình\(\left( {4\log _2^2x + {{\log }_2}x - 5} \right)\sqrt {{7^x} - m} = 0\) (m là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt?

Câu 599553: Cho phương trình\(\left( {4\log _2^2x + {{\log }_2}x - 5} \right)\sqrt {{7^x} - m} = 0\) (m là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt?

A. 47.

B. 49.

C. Vô số.

D. 48.

Câu hỏi : 599553

Quảng cáo

Phương pháp giải:

Tìm ĐKXĐ của phương trình.

Giải phương trình tích.

Biện luận để phương trình có đúng hai nghiệm.

Đáp án : A
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\{7^x} - m \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x \ge {\log _7}m\,\,\left( {m > 0} \right)\end{array} \right.\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}\left( {4\log _2^2x + {{\log }_2}x - 5} \right)\sqrt {{7^x} - m} = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4\log _2^2x + {\log _2}x - 5 = 0\\{7^x} - m = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\log _2}x = 1\\{\log _2}x = - \dfrac{5}{4}\\x = {\log _7}m\,\,\left( {m > 0} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = {2^{ - \dfrac{5}{4}}}\\x = {\log _7}m\end{array} \right.\end{array}\)
Để phương trình có đúng 2 nghiệm thì:
TH1: \(2 > {\log _7}m \ge {2^{ - \dfrac{5}{4}}} \Leftrightarrow {7^2} > m \ge {7^{{2^{ - \dfrac{5}{4}}}}}\).
Mà \(m \in {\mathbb{Z}^ + } \Rightarrow m \in \left\{ {3;4;5;...;48} \right\} \Rightarrow \) Có 46 giá trị m thỏa mãn.
TH2: \({\log _7}m \le 0 \Leftrightarrow m \le 1\).
Mà \(m \in {\mathbb{Z}^ + } \Rightarrow m = 1\) Có 1 giá trị m thỏa mãn.
Vậy có tất cả 47 giá trị m thỏa mãn.

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.