Cho hình chóp S.ABC có AB = 4a, \(BC = 3\sqrt 2 a,\) \(\angle ABC = 45^\circ ;\) \(\angle SAC = \angle SBC =

Câu hỏi số 599554:

Vận dụng cao

Cho hình chóp S.ABC có AB = 4a, \(BC = 3\sqrt 2 a,\) \(\angle ABC = 45^\circ ;\) \(\angle SAC = \angle SBC = 90^\circ \); sin góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) bằng\(\dfrac{{\sqrt 2 }}{4}.\)Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho bằng

A. \(\dfrac{{a\sqrt {183} }}{{6}}.\)

B. \(\dfrac{{a\sqrt {183} }}{3}.\)

C. \(\dfrac{{5a\sqrt 3 }}{{12}}.\)

D. \(\dfrac{{3a\sqrt 5 }}{{12}}.\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:599554

Giải chi tiết

Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên (ABC).

\( \Rightarrow SH \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SH \bot AC\), mà \(SA \bot AC\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow HA \bot AC\).

Chứng minh tương tự ta có \(HB \bot BC\).

Xét tam giác ABC có:

\(\begin{array}{l}A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2AB.BC.\cos B\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {\left( {4a} \right)^2} + {\left( {3\sqrt 2 a} \right)^2} - 2.4a.3\sqrt 2 a.\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 10{a^2}\\ \Rightarrow AC = a\sqrt {10} \end{array}\)

Kẻ \(CK \bot AB \Rightarrow \Delta KBC\) vuông cân tại K \( \Rightarrow CK = \dfrac{{BC}}{{\sqrt 2 }} = 3a\).

\( \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}CK.AB = \dfrac{1}{2}.3a.4a = 6{a^2}\).

+ Tứ giác AHBC nội tiếp đường tròn đường kính HC

\(\begin{array}{l} \Rightarrow HC = 2R = \dfrac{{AC}}{{\sin \angle ABC}} = \dfrac{{a\sqrt {10} }}{{\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}}} = 2\sqrt 5 a\\ \Rightarrow H{B^2} = H{C^2} - B{C^2} = 20{a^2} - 18{a^2} = 2{a^2}\\ \Rightarrow HB = a\sqrt 2 \end{array}\)

+ Kẻ \(HE \bot AB \Rightarrow \Delta HBE\) vuông cân tại E \( \Rightarrow HE = \dfrac{{HB}}{{\sqrt 2 }} = a\).

+ Gọi \(I = HC \cap AB \Rightarrow I = HC \cap \left( {SAB} \right) \Rightarrow \dfrac{{d\left( {C,\left( {SAB} \right)} \right)}}{{d\left( {H,\left( {SAB} \right)} \right)}} = \dfrac{{IC}}{{IH}} = \dfrac{{CK}}{{HE}} = 3\).

+ Đặt \(\alpha = \left( {\left( {SAB} \right),\left( {SBC} \right)} \right)\) \( \Rightarrow \sin \alpha = \dfrac{{d\left( {C,\left( {SAB} \right)} \right)}}{{d\left( {C,SB} \right)}} = \dfrac{{d\left( {C,\left( {SAB} \right)} \right)}}{{CB}}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow d\left( {C,\left( {SAB} \right)} \right) = CB\sin \alpha = 3a\sqrt 2 .\dfrac{{\sqrt 2 }}{4} = \dfrac{{3a}}{2}\\ \Rightarrow d\left( {H,\left( {SAB} \right)} \right) = \dfrac{a}{2}\end{array}\).

+ Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot HE\\AB \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SHE} \right)\).

Kẻ \(HF \bot SE\) tại F ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot HF\,\,\left( {AB \bot \left( {SAH} \right)} \right)\\SE \bot HF\end{array} \right. \Rightarrow HF \bot \left( {SAB} \right)\).

\( \Rightarrow d\left( {H,\left( {SAB} \right)} \right) = HF = \dfrac{a}{2}\).

Xét tam giác vuông SHA có: \(\dfrac{1}{{H{F^2}}} = \dfrac{1}{{S{H^2}}} + \dfrac{1}{{H{E^2}}}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{1}{{S{H^2}}} = \dfrac{1}{{H{F^2}}} - \dfrac{1}{{H{E^2}}} = \dfrac{4}{{{a^2}}} - \dfrac{1}{{{a^2}}} = \dfrac{3}{{{a^2}}}\\ \Rightarrow SH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\end{array}\)

Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp là: \({R_c} = \sqrt {\dfrac{{S{H^2}}}{4} + {R^2}} = \dfrac{{a\sqrt {183} }}{6}.\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.