Cho hình chóp S.ABC có AB = 4a, \(BC = 3\sqrt 2 a,\) \(\angle ABC = 45^\circ ;\) \(\angle SAC = \angle SBC =
Cho hình chóp S.ABC có AB = 4a, \(BC = 3\sqrt 2 a,\) \(\angle ABC = 45^\circ ;\) \(\angle SAC = \angle SBC = 90^\circ \); sin góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) bằng\(\dfrac{{\sqrt 2 }}{4}.\)Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho bằng
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên (ABC).
\( \Rightarrow SH \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SH \bot AC\), mà \(SA \bot AC\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow HA \bot AC\).
Chứng minh tương tự ta có \(HB \bot BC\).
Xét tam giác ABC có:
\(\begin{array}{l}A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2AB.BC.\cos B\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {\left( {4a} \right)^2} + {\left( {3\sqrt 2 a} \right)^2} - 2.4a.3\sqrt 2 a.\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 10{a^2}\\ \Rightarrow AC = a\sqrt {10} \end{array}\)
Kẻ \(CK \bot AB \Rightarrow \Delta KBC\) vuông cân tại K \( \Rightarrow CK = \dfrac{{BC}}{{\sqrt 2 }} = 3a\).
\( \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}CK.AB = \dfrac{1}{2}.3a.4a = 6{a^2}\).
+ Tứ giác AHBC nội tiếp đường tròn đường kính HC
\(\begin{array}{l} \Rightarrow HC = 2R = \dfrac{{AC}}{{\sin \angle ABC}} = \dfrac{{a\sqrt {10} }}{{\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}}} = 2\sqrt 5 a\\ \Rightarrow H{B^2} = H{C^2} - B{C^2} = 20{a^2} - 18{a^2} = 2{a^2}\\ \Rightarrow HB = a\sqrt 2 \end{array}\)
+ Kẻ \(HE \bot AB \Rightarrow \Delta HBE\) vuông cân tại E \( \Rightarrow HE = \dfrac{{HB}}{{\sqrt 2 }} = a\).
+ Gọi \(I = HC \cap AB \Rightarrow I = HC \cap \left( {SAB} \right) \Rightarrow \dfrac{{d\left( {C,\left( {SAB} \right)} \right)}}{{d\left( {H,\left( {SAB} \right)} \right)}} = \dfrac{{IC}}{{IH}} = \dfrac{{CK}}{{HE}} = 3\).
+ Đặt \(\alpha = \left( {\left( {SAB} \right),\left( {SBC} \right)} \right)\) \( \Rightarrow \sin \alpha = \dfrac{{d\left( {C,\left( {SAB} \right)} \right)}}{{d\left( {C,SB} \right)}} = \dfrac{{d\left( {C,\left( {SAB} \right)} \right)}}{{CB}}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow d\left( {C,\left( {SAB} \right)} \right) = CB\sin \alpha = 3a\sqrt 2 .\dfrac{{\sqrt 2 }}{4} = \dfrac{{3a}}{2}\\ \Rightarrow d\left( {H,\left( {SAB} \right)} \right) = \dfrac{a}{2}\end{array}\).
+ Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot HE\\AB \bot SH\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SHE} \right)\).
Kẻ \(HF \bot SE\) tại F ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot HF\,\,\left( {AB \bot \left( {SAH} \right)} \right)\\SE \bot HF\end{array} \right. \Rightarrow HF \bot \left( {SAB} \right)\).
\( \Rightarrow d\left( {H,\left( {SAB} \right)} \right) = HF = \dfrac{a}{2}\).
Xét tam giác vuông SHA có: \(\dfrac{1}{{H{F^2}}} = \dfrac{1}{{S{H^2}}} + \dfrac{1}{{H{E^2}}}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{1}{{S{H^2}}} = \dfrac{1}{{H{F^2}}} - \dfrac{1}{{H{E^2}}} = \dfrac{4}{{{a^2}}} - \dfrac{1}{{{a^2}}} = \dfrac{3}{{{a^2}}}\\ \Rightarrow SH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\end{array}\)
Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp là: \({R_c} = \sqrt {\dfrac{{S{H^2}}}{4} + {R^2}} = \dfrac{{a\sqrt {183} }}{6}.\)
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
