Chứng minh rằng một tam giác có ba đường trung tuyến bằng nhau là tam giác đều.

Câu hỏi số 605847:

Thông hiểu

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:605847

Phương pháp giải

+ Ba đường trung tuyến của tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm gặp nhau của ba đường trung tuyến được gọi là trọng tâm tam giác đó.

+ Vị trí trọng tâm: Trọng tâm của một tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng \(\dfrac{2}{3}\) độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.

+ Nếu hai cạnh và góc xen giữa hai cạnh của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa hai cạnh của tam giác kia thì hai tam giác này bằng nhau.

+ Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau.

Giải chi tiết

Xét \(\Delta MNP\) có các đường trung tuyến \(MH,NE,PF\)cắt nhau tại \(G\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}MG = \dfrac{2}{3}MH\\NG = \dfrac{2}{3}NE\\PG = \dfrac{2}{3}PF\end{array} \right.\)

Mà \(MH = NE = PF\)

\( \Rightarrow MG = NG = PG\)

Dễ dàng chứng minh được :

+ \(\Delta GFN = \Delta GEP\left( {c.g.c} \right)\)

\( \Rightarrow FN = EP\) (2 cạnh tương ứng)

+ \(\Delta GME = \Delta GNH\left( {c.g.c} \right)\)

\( \Rightarrow ME = NH\)(2 cạnh tương ứng)

Vì \(H\) là trung điểm của \(NP\)\( \Rightarrow NP = 2NH\)

\(E\) là trung điểm của \(MP \Rightarrow MP = 2EP\)

\(F\) là trung điểm của \(MN \Rightarrow MN = 2FN\)

\( \Rightarrow NP = MP = MN\)

\( \Rightarrow \Delta MNP\) là tam giác đều (đpcm)

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link