Cho \(\Delta ABC\) có hai đường trung tuyến \(BD,CE\) cắt nhau tại \(G\). Trên tia đối của tia \(DB\)

Câu hỏi số 605848:

Vận dụng

Cho \(\Delta ABC\) có hai đường trung tuyến \(BD,CE\) cắt nhau tại \(G\). Trên tia đối của tia \(DB\) lấy điểm \(M\) sao cho \(DM = DG\). Trên tia đối của tia \(EG\) lấy điểm \(N\) sao cho \(EN = EG\). Chứng minh rằng:

a) \(BG = GM;CG = GN\)

b) \(MN = BC\) và \(MN//BC\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:605848

Phương pháp giải

+ Ba đường trung tuyến của tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm gặp nhau của ba đường trung tuyến được gọi là trọng tâm tam giác đó.

+ Vị trí trọng tâm: Trọng tâm của một tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng \(\dfrac{2}{3}\) độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.

+ Nếu hai cạnh và góc xen giữa hai cạnh của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa hai cạnh của tam giác kia thì hai tam giác này bằng nhau.

+ Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng mà trong các góc tạo thành có một cặp góc so le trong bằng nhau thì hai đường thẳng đó song song với nhau.

Giải chi tiết

a) Ta có : \(DM = DG \Rightarrow GM = 2GD\)

\( \Rightarrow G\) là trọng tâm của \(\Delta ABC\)

\( \Rightarrow BG = \dfrac{2}{3}BD \Rightarrow BD = \dfrac{3}{2}BG\)

Mà \(BD = BG + GD\)

\( \Rightarrow GD = \dfrac{1}{3}BD = \dfrac{1}{3}.\dfrac{3}{2}BG = \dfrac{1}{2}BG\)

\( \Rightarrow BG = 2GD\)

Mà \(GM = 2GD\)

\( \Rightarrow BG = GM\)(đpcm)

Chứng minh tương tự ta được: \(CG = GN\)

b) Dễ dàng chứng minh : \(\Delta GMN = \Delta GBC\left( {c.g.c} \right)\)

\( \Rightarrow MN = BC\) (2 cạnh tương ứng)

Và \(\angle NMG = \angle CBG\) (2 góc tương ứng)

Mà hai góc ở vị trí so le trong

\( \Rightarrow MN//BC\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link