Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2}

Câu hỏi số 608819:

Vận dụng

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 6\), tiếp xúc với hai mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,x + y + 2z + 5 = 0\) và \(\left( Q \right):\,\,2x - y + z - 5 = 0\) lần lượt tại hai điểm A và B. Độ dài đoạn thẳng AB bằng:

A. 5.

B. \(2\sqrt 3 \).

C. \(2\sqrt 6 \).

D. \(3\sqrt 2 \).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:608819

Phương pháp giải

+ Xác định tâm I của mặt cầu (S).

+ Xác định A và B lần lượt là hình chiếu vuông góc của I lên (P), (Q).

+ Tính độ dài đoạn thẳng \(AB = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2} + {{\left( {{z_B} - {z_A}} \right)}^2}} \).

Giải chi tiết

Mặt cầu (S) có tâm I(1;2;-1).

+ (S) tiếp xúc với (P) tại A \( \Rightarrow IA \bot \left( P \right)\).

Phương trình đường thẳng IA đi qua I và có VTCP \(\overrightarrow {{u_{IA}}} = \overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;1;2} \right)\): \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 + t\\z = - 1 + 2t\end{array} \right.\).

\(\begin{array}{l}A \in IA \Rightarrow A\left( {1 + t;2 + t; - 1 + 2t} \right)\\A \in \left( P \right) \Rightarrow 1 + t + 2 + t + 2\left( { - 1 + 2t} \right) + 5 = 0 \Leftrightarrow t = - 1\\ \Rightarrow A\left( {0;1; - 3} \right)\end{array}\)

+ (S) tiếp xúc với (Q) tại B \( \Rightarrow IB \bot \left( Q \right)\).

Phương trình đường thẳng IB đi qua I và có VTCP \(\overrightarrow {{u_{IB}}} = \overrightarrow {{n_Q}} = \left( {2; - 1;1} \right)\): \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = 2 - t\\z = - 1 + t\end{array} \right.\).

\(\begin{array}{l}B \in IB \Rightarrow B\left( {1 + 2t;2 - t; - 1 + t} \right)\\B \in \left( Q \right) \Rightarrow 2\left( {1 + 2t} \right) - \left( {2 - t} \right) + \left( { - 1 + t} \right) - 5 = 0 \Leftrightarrow t = 1\\ \Rightarrow B\left( {3;1;0} \right)\end{array}\)

Vậy \(\overrightarrow {AB} = \left( {3;0;3} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {9 + 9} = 3\sqrt 2 \).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.