Giả sử \(F\left( x \right) = {x^2}\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right).{\sin ^2}x\) và G(x) là

Câu hỏi số 608820:

Vận dụng cao

Giả sử \(F\left( x \right) = {x^2}\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right).{\sin ^2}x\) và G(x) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right).{\cos ^2}x\) trên khoảng \(\left( {0;\pi } \right)\). Biết rằng \(G\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right) = 0,\,\,G\left( {\dfrac{\pi }{4}} \right) = a\pi + b{\pi ^2} + c\ln 2\) với a, b, c là các số hữu tỉ. Tổng a + b + c bằng

A. \( - \dfrac{{27}}{{16}}\).

B. \( - \dfrac{{21}}{{16}}\).

C. \(\dfrac{{ - 5}}{{16}}\).

D. \(\dfrac{{11}}{{16}}\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:608820

Phương pháp giải

+ \(F\left( x \right) = {x^2}\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right).{\sin ^2}x\) \( \Rightarrow F'\left( x \right) = f\left( x \right){\sin ^2}x\). Tìm f(x).

+ G(x) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right).{\cos ^2}x\) nên \(\int\limits_{\dfrac{\pi }{2}}^{\dfrac{\pi }{4}} {f\left( x \right).{{\cos }^2}xdx} = G\left( {\dfrac{\pi }{4}} \right) - G\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right)\).

+ Phân tích, sử dụng phương pháp tích phân từng phần, đồng nhất hệ số.

Giải chi tiết

\(F\left( x \right) = {x^2}\) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right).{\sin ^2}x\)

\( \Rightarrow F'\left( x \right) = f\left( x \right){\sin ^2}x \Leftrightarrow 2x = f\left( x \right){\sin ^2}x \Leftrightarrow f\left( x \right) = \dfrac{{2x}}{{{{\sin }^2}x}}\)

G(x) là một nguyên hàm của \(f\left( x \right).{\cos ^2}x = \dfrac{{2x{{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\int\limits_{\dfrac{\pi }{2}}^{\dfrac{\pi }{4}} {\dfrac{{2x{{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}}dx} = G\left( {\dfrac{\pi }{4}} \right) - G\left( {\dfrac{\pi }{2}} \right) = a\pi + b{\pi ^2} + c\ln 2\\ \Leftrightarrow \int\limits_{\dfrac{\pi }{2}}^{\dfrac{\pi }{4}} {\dfrac{{2x - 2x{{\sin }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}}dx} = a\pi + b{\pi ^2} + c\ln 2\\ \Leftrightarrow \int\limits_{\dfrac{\pi }{2}}^{\dfrac{\pi }{4}} {\dfrac{{2x}}{{{{\sin }^2}x}}dx} - \int\limits_{\dfrac{\pi }{2}}^{\dfrac{\pi }{4}} {2xdx} = a\pi + b{\pi ^2} + c\ln 2\\ \Leftrightarrow A - B = a\pi + b{\pi ^2} + c\ln 2\end{array}\)

Xét \(A = \int\limits_{\dfrac{\pi }{2}}^{\dfrac{\pi }{4}} {\dfrac{{2x}}{{{{\sin }^2}x}}dx} \).

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = 2x\\dv = \dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = 2dx\\v = - \cot x\end{array} \right.\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow A = \left. { - \cot x.2x} \right|_{\dfrac{\pi }{2}}^{\dfrac{\pi }{4}} + \int\limits_{\dfrac{\pi }{2}}^{\dfrac{\pi }{4}} {2\cot xdx} \\ \Rightarrow A = - \dfrac{\pi }{2} + \left. {2\ln \left| {\sin x} \right|} \right|_{\dfrac{\pi }{2}}^{\dfrac{\pi }{4}}\\ \Rightarrow A = - \dfrac{\pi }{2} + 2\ln \left( {\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)\\ \Rightarrow A = - \dfrac{\pi }{2} + 2\ln \sqrt 2 - 2\ln 2\\ \Rightarrow A = - \dfrac{\pi }{2} - \ln 2\end{array}\)

Xét \(B = \int\limits_{\dfrac{\pi }{2}}^{\dfrac{\pi }{4}} {2xdx} = \left. {{x^2}} \right|_{\dfrac{\pi }{2}}^{\dfrac{\pi }{4}} = \dfrac{{{\pi ^2}}}{{16}} - \dfrac{{{\pi ^2}}}{4} = \dfrac{{ - 3{\pi ^2}}}{{16}}\).

Suy ra \( - \dfrac{\pi }{2} - \ln 2 + \dfrac{{3{\pi ^2}}}{{16}} = a\pi + b{\pi ^2} + c\ln 2\).

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \dfrac{1}{2}\\b = \dfrac{3}{{16}}\\c = - 1\end{array} \right. \Rightarrow a + b + c = - \dfrac{{21}}{{16}}\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.