Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) \(AH\) là đường cao. \(O,I,K\) lần lượt là điểm cách đều ba
Cho \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) \(AH\) là đường cao. \(O,I,K\) lần lượt là điểm cách đều ba cạnh của mỗi \(\Delta ABC,\Delta HAB,\Delta HAC\). Chứng minh rằng: \(IO\) là đường cao của \(\Delta AIK\)
Quảng cáo
+ Ba đường phân giác của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba cạnh của tam giác đó.
+ Ba đường cao của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này được gọi là trực tâm của tam giác đó.
+ Tổng ba góc trong một tam giác bằng \(180^\circ \)
+ Mỗi góc ngoài của tam giác có số đo bằng tổng số đo hai góc trong tam giác không kề với nó.
\( \Rightarrow O\) thuộc đường phân giác \(\angle ABC\)
\( \Rightarrow \angle {B_1} = \dfrac{1}{2}\angle ABC\)
Vì \(I\) là điểm cách đều ba cạnh của \(\Delta HAB\)
\( \Rightarrow I\) thuộc đường phân giác \(\angle AHB\) hay \(\angle ABC\)
\( \Rightarrow \angle {C_1} = \dfrac{1}{2}\angle ACB\)
\( \Rightarrow B,I,O\) thẳng hàng
Chứng minh tương tự ta có : \(C,K,O\) thẳng hàng
Xét \(\Delta ABC\) có :
\(\angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^\circ \) (định lí tổng ba góc trong một tam giác)
\( \Rightarrow \angle ABC + \angle ACB = 180^\circ - \angle BAC = 90^\circ \)
+ Gọi \(M\) là giao điểm của \(BO\) và \(AM\)
Ta có : \(\angle MOK\) là góc ngoài của \(\Delta OBC\)
\( \Rightarrow \angle MOK = \angle {B_1} + \angle {C_1}\)
\(\begin{array}{l} = \dfrac{1}{2}\angle ABC + \dfrac{1}{2}\angle ACB\\ = \dfrac{1}{2}\left( {\angle ABC + \angle ACB} \right)\\ = \dfrac{1}{2}\left( {180^\circ - \angle BAC} \right)\\ = \dfrac{1}{2}.90^\circ = 45^\circ \end{array}\)
Chứng minh tương tự ta có : \(\angle OKM = 45^\circ \)
Xét \(\Delta MOK\) có :
\(\angle MOK + \angle OMK + \angle OKM = 180^\circ \) (định lí tổng ba góc trong tam giác)
\( \Rightarrow \angle OMK = 180^\circ - \left( {\angle MOK + \angle OKM} \right)\)
\(\begin{array}{l} = 180^\circ - \left( {45^\circ + 45^\circ } \right)\\ = 90^\circ \end{array}\)
\( \Rightarrow OK \bot MK\)
\( \Rightarrow IM\) là đường cao của \(\Delta AIK\)
+ Gọi \(N\) là giao điểm của \(KO\) và \(AI\)
Chứng minh tương tự như với điểm \(M\), ta được \(KO\) là đường cao của \(\Delta AIK\)
Xét \(\Delta AIK\) có các đường cao \(IM\) và \(KO\) giao nhau tại \(O\)
\( \Rightarrow O\) là trực tâm của \(\Delta AIK\)
\( \Rightarrow IO\) là đường cao của \(\Delta AIK\) (đpcm)
Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
