Trong mặt phẳng Oxy, cho parabol \(\left( P \right):\,\,y = {x^2}\) và một điểm \(A\left( {a;{a^2}} \right)\)

Câu hỏi số 622332:

Vận dụng

Trong mặt phẳng Oxy, cho parabol \(\left( P \right):\,\,y = {x^2}\) và một điểm \(A\left( {a;{a^2}} \right)\) (với a > 0) nằm trên parabol (P). Gọi \(\Delta \) là tiếp tuyến của (P) tại điểm A, gọi d là đường thẳng qua A và vuông góc với \(\Delta .\) Biết diện tcihs hình phẳng giới hạn bởi (P) và d (phần gạch sọc) đạt giá trị nhỏ nhất, khẳng định nào sau đây là đúng?

A. \(a \in \left( {1;\dfrac{3}{2}} \right]\).

B. \(a \in \left( {0;\dfrac{1}{4}} \right]\).

C. \(a \in \left( {\dfrac{1}{4};\dfrac{2}{3}} \right]\).

D. \(a \in \left( {\dfrac{2}{3};1} \right]\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:622332

Phương pháp giải

Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và vuông góc với \(\Delta \), phương trình đường thẳng d có dạng \(y = mx + n.\)

Giải phương trình hoành độ của d và (P), tìm hai nghiệm \({x_1},\,\,{x_2}\,\,\left( {{x_1} > {x_2}} \right)\).

Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng: \(S = \int\limits_{{x_2}}^{{x_1}} {\left( {mx + n - {x^2}} \right)dx} \).

Giải phương trình tìm a.

Giải chi tiết

Ta có: \(\left( P \right):\,\,y = {x^2} \Rightarrow y' = 2x.\)

Phương trình đường thẳng \(\Delta :\,\,y = 2a\left( {x - a} \right) + {a^2}\).

Vì \(d \bot \Delta \Rightarrow {k_d}.{k_\Delta } = - 1 \Leftrightarrow {k_d} = - \dfrac{1}{{2a}}.\)

Phương trình đường thẳng d là: \(y = - \dfrac{1}{{2a}}.\left( {x - a} \right) + {a^2} \Leftrightarrow y = - \dfrac{1}{{2a}}x + {a^2} + \dfrac{1}{2}.\)

Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d):

\(\begin{array}{l}{x^2} = - \dfrac{1}{{2a}}x + {a^2} + \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow {x^2} + \dfrac{1}{{2a}}x - {a^2} - \dfrac{1}{2} = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} - {a^2}} \right) + \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{x}{a} - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - a} \right)\left( {x + a} \right) + \dfrac{1}{{2a}}\left( {x - a} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - a} \right)\left( {x + a + \dfrac{1}{{2a}}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} = a\\{x_2} = - a - \dfrac{1}{{2a}}\end{array} \right.\end{array}\)

Dựa vào hình vẽ, ta có:

\(\begin{array}{l}S = \int\limits_{{x_2}}^{{x_1}} {\left( { - \dfrac{1}{{2a}}x + {a^2} + \dfrac{1}{2} - {x^2}} \right)dx} \\ \Leftrightarrow S = \int\limits_{{x_2}}^{{x_1}} {\left( { - {x^2} - \dfrac{1}{{2a}}x + {a^2} + \dfrac{1}{2}} \right)dx} \\ \Leftrightarrow S = \left. {\left( { - \dfrac{{{x^3}}}{3} - \dfrac{1}{{2a}}.\dfrac{{{x^2}}}{2} + \left( {{a^2} + \dfrac{1}{2}} \right)x} \right)} \right|_{{x_2}}^{{x_1}}\\ \Leftrightarrow S = \left( { - \dfrac{{x_1^3}}{3} - \dfrac{1}{{2a}}.\dfrac{{x_1^2}}{2} + \left( {{a^2} + \dfrac{1}{2}} \right){x_1}} \right) - \left( { - \dfrac{{x_2^3}}{3} - \dfrac{1}{{2a}}.\dfrac{{x_2^2}}{2} + \left( {{a^2} + \dfrac{1}{2}} \right){x_2}} \right)\\ \Leftrightarrow S = - \dfrac{1}{3}\left( {x_1^3 - x_2^3} \right) - \dfrac{1}{{4a}}\left( {x_1^2 - x_2^2} \right) + \left( {{a^2} + \dfrac{1}{2}} \right)\left( {{x_1} - {x_2}} \right)\\ \Leftrightarrow S = - \dfrac{1}{3}\left[ {{a^3} - {{\left( { - a - \dfrac{1}{{2a}}} \right)}^3}} \right] - \dfrac{1}{{4a}}\left[ {{a^2} - {{\left( { - a - \dfrac{1}{{2a}}} \right)}^2}} \right] + \left( {{a^2} + \dfrac{1}{2}} \right)\left[ {a - \left( { - a - \dfrac{1}{{2a}}} \right)} \right]\\ \Leftrightarrow S = - \dfrac{1}{3}\left[ {{a^3} + \left( {{a^3} + 3.{a^2}.\dfrac{1}{{2a}} + 3a.\dfrac{1}{{4{a^2}}} + \dfrac{1}{{8{a^3}}}} \right)} \right] - \dfrac{1}{{4a}}\left[ {{a^2} - \left( {{a^2} + 2a.\dfrac{1}{{2a}} + \dfrac{1}{{4{a^2}}}} \right)} \right] + \left( {{a^2} + \dfrac{1}{2}} \right)\left( {a + a + \dfrac{1}{{2a}}} \right)\\ \Leftrightarrow S = - \dfrac{1}{3}\left( {2{a^3} + \dfrac{{3a}}{2} + \dfrac{3}{{4a}} + \dfrac{1}{{8{a^3}}}} \right) - \dfrac{1}{{4a}}\left( { - 1 - \dfrac{1}{{4{a^2}}}} \right) + \left( {{a^2} + \dfrac{1}{2}} \right)\left( {2a + \dfrac{1}{{2a}}} \right)\\ \Leftrightarrow S = - \dfrac{2}{3}{a^3} - \dfrac{a}{2} - \dfrac{1}{{4a}} - \dfrac{1}{{24{a^3}}} + \dfrac{1}{{4a}} + \dfrac{1}{{16{a^3}}} + 2{a^3} + \dfrac{a}{2} + a + \dfrac{1}{{4a}}\\ \Leftrightarrow S = \dfrac{4}{3}{a^3} + a + \dfrac{1}{{4a}} + \dfrac{1}{{48{a^3}}}\\ \Leftrightarrow S = \left( {\dfrac{4}{3}{a^3} + \dfrac{1}{{12a}} + \dfrac{1}{{12a}} + \dfrac{1}{{12a}}} \right) + \left( {\dfrac{a}{3} + \dfrac{a}{3} + \dfrac{a}{3} + \dfrac{1}{{48{a^3}}}} \right)\end{array}\)

Áp dụng BĐT Cô-si ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{4}{3}{a^3} + \dfrac{1}{{12a}} + \dfrac{1}{{12a}} + \dfrac{1}{{12a}} \ge 4\sqrt[4]{{\dfrac{4}{3}{a^3}.\dfrac{1}{{12a}}.\dfrac{1}{{12a}}.\dfrac{1}{{12a}}}} = 4.\dfrac{1}{6} = \dfrac{2}{3}\\\dfrac{a}{3} + \dfrac{a}{3} + \dfrac{a}{3} + \dfrac{1}{{48{a^3}}} \ge 4\sqrt[4]{{\dfrac{a}{3}.\dfrac{a}{3}.\dfrac{a}{3}.\dfrac{1}{{48{a^3}}}}} = 4.\dfrac{1}{6} = \dfrac{2}{3}\end{array}\)

\( \Rightarrow S \ge \dfrac{2}{3} + \dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{3}.\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{4{a^3}}}{3} = \dfrac{1}{{12a}}\\\dfrac{a}{3} = \dfrac{1}{{48{a^3}}}\end{array} \right. \Leftrightarrow {a^4} = \dfrac{1}{{16}} \Leftrightarrow a = \dfrac{1}{2}.\)

Vậy \(a = \dfrac{1}{2} \in \left( {\dfrac{1}{4};\dfrac{2}{3}} \right].\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.