Một vật nặng được bắn lên điểm O trên mặt đất với vận tốc ban đầu \({v_0} = 10\,\,m/s\),

Câu hỏi số 622338:

Vận dụng cao

Một vật nặng được bắn lên điểm O trên mặt đất với vận tốc ban đầu \({v_0} = 10\,\,m/s\), các góc bắn \(\alpha \) với \({30^0} \le \alpha \le {90^0}\) (bỏ qua sức cản không khi và coi giá tốc rơi tự do là \(g = 10\,\,m/{s^2}\)). Cho biết với góc bắn \(\alpha < {90^0}\) thì quỹ đạo của vật là một phần của parabol \(y = x\tan \alpha - \dfrac{g}{{2v_0^2{{\cos }^2}\alpha }}{x^2}\) và xét trên một mặt phẳng đứng, khi \(\alpha \) thay đổi thì các quỹ đạo của vật nặng sinh ra một hình phẳng giới hạn bởi một phần của parabol (P) và mặt đất (xem hình vẽ). Tính thể tích vùng không gian chứa tất cả các vị trí có thể của vật nặng.

A. \(802,6\,\,{m^3}\).

B. \(785,4\,\,{m^3}\).

C. \(859,1\,\,{m^3}\).

D. \(644,3\,\,{m^3}\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:622338

Phương pháp giải

Ứng dụng tích phân tính thể tích vật thể.

Giải chi tiết

Với góc bắn \(\alpha < {90^0}\) thì quỹ đạo của vật thể là một phần của parabol \(y = x\tan \alpha - \dfrac{g}{{2v_0^2{{\cos }^2}\alpha }}{x^2}\).

=> Tầm xa của vật và độ cao lớn nhất của vật lần lượt là:

\(\begin{array}{l}V = \dfrac{{v_0^2\sin 2\alpha }}{g}\\H = \dfrac{{v_0^2{{\sin }^2}\alpha }}{{2g}}\end{array}\)

Vật đạt được tầm xa lớn nhất khi \(\alpha = {45^0}\), khi đó \({L_{\max }} = 10 \Rightarrow A\left( {10;0} \right) \in \left( P \right)\).

Khi \(\alpha = {90^0} \Rightarrow \) Quỹ đạo của vật là đoạn OI, khi đó độ cao của vật tại thời điểm t (giây) được cho bởi \(y = {v_0}t - \dfrac{1}{2}g{t^2}.\)

Do đó, ta thấy vật đạy độ cao lớn nhất khi \(\alpha = {90^0} \Rightarrow \) độ cao lớn nhất là \({H_{\max }} = 5\)

=> I(0;5) là đỉnh của parabol (P).

Hàm số bậc hai có đồ thị (P) có dạng \(y = a\left( {x - 10} \right)\left( {x + 10} \right) = a\left( {{x^2} - 100} \right)\).

Thay x = 0 \( \Rightarrow 5 = a\left( {{0^2} - 100} \right) \Leftrightarrow a = - \dfrac{1}{{20}} \Rightarrow x = \sqrt {100 - 2y} \).

Vậy thể tích vùng không gian cần tìm là: \(V = \pi \int\limits_0^5 {{{\left( {\sqrt {100 - 2y} } \right)}^2}dy} = 250\pi \,\,\left( {c{m^3}} \right) \approx 785,4\,\,\left( {{m^3}} \right)\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.