Cho x, y là hai số thực dương thoả mãn \(4 + {9.3^{{x^2} - 2y}} = \left( {4 + {9^{{x^2} - 2y}}}

Câu hỏi số 623906:

Vận dụng cao

Cho x, y là hai số thực dương thoả mãn \(4 + {9.3^{{x^2} - 2y}} = \left( {4 + {9^{{x^2} - 2y}}} \right){.7^{2y - {x^2} + 2}}\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \dfrac{{x + 2y + 18}}{x}\) bằng

A. \(\dfrac{{3 + \sqrt 2 }}{2}\).

B. 9.

C. \(1 + 9\sqrt 2 \).

D. 17.

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:623906

Phương pháp giải

Đặt \(t = {x^2} - 2y\), đưa về phương trình ẩn t.

Biện luận và suy ra nghiệm t, từ đó biểu diễn y theo x.

Biểu diễn biểu thức P theo biến x, áp dụng BĐT Cô-si.

Giải chi tiết

Đặt \(t = {x^2} - 2y\), phương trình đã cho trở thành:

\(\begin{array}{l}4 + {9.3^t} = \left( {4 + {9^t}} \right){.7^{2 - t}}\\ \Leftrightarrow 4 + {9.3^t} = \left( {4 + {9^t}} \right){.49.7^{ - t}}\\ \Leftrightarrow {4.7^t} + {9.3^t}{.7^t} - 4.49 - {49.9^t} = 0\\ \Leftrightarrow 4\left( {{7^t} - 49} \right) + {3^t}.\left( {{{9.7}^t} - {{49.3}^t}} \right) = 0\end{array}\)

Ta có:

+ \(t = 2 \Rightarrow 4.0 + {3^2}.0 = 0 \Rightarrow t = 2\) là nghiệm của phương trình.

+ \(t > 2 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{7^t} - 49 > 0\\{9.7^t} - {49.3^t} > 0\,\,\left( {do\,\,\dfrac{{{{9.7}^t}}}{{{{49.3}^t}}} = {{\left( {\dfrac{7}{3}} \right)}^{t - 2}} > 1} \right)\end{array} \right.\) => VT > 0 => Phương trình vô nghiệm.

+ \(t < 2 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{7^t} - 49 < 0\\{9.7^t} - {49.3^t} < 0\,\,\left( {do\,\,\dfrac{{{{9.7}^t}}}{{{{49.3}^t}}} = {{\left( {\dfrac{7}{3}} \right)}^{t - 2}} < 1} \right)\end{array} \right.\) => VT > 0 => Phương trình vô nghiệm.

Khi đó, phương trình có duy nhất nghiệm \(t = 2 \Rightarrow {x^2} - 2y = 2 \Leftrightarrow 2y = {x^2} - 2.\)

Thay vào biểu thức P ta có:

\(P = \dfrac{{x + 2y + 18}}{x} = \dfrac{{{x^2} + x + 16}}{x} = x + \dfrac{{16}}{x} + 1 \ge 2\sqrt {x.\dfrac{{16}}{x}} + 1 = 9\) (với x > 0).

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow x = \dfrac{{16}}{x} \Leftrightarrow x = 4 \Rightarrow y = 7.\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.