Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\) thoả mãn

Câu hỏi số 623908:

Vận dụng cao

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\) thoả mãn \(\left[ {xf'\left( x \right) - 2f\left( x \right)} \right]\ln x = {x^3} - f\left( x \right)\), \(\forall x \in \left( {1; + \infty } \right)\) và \(f\left( {\sqrt[3]{e}} \right) = 3e\). Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\) thuộc khoảng nào dưới đây?

A. (6;8).

B. (4;6).

C. (10;12).

D. (8;10).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:623908

Phương pháp giải

Đưa giả thiết về dạng \(\dfrac{{\ln x}}{{{x^2}}}f'\left( x \right) + \dfrac{{1 - 2\ln x}}{{{x^3}}}f\left( x \right) = 1\). Lấy nguyên hàm hai vế tìm f(x).

Sử dụng phương pháp tìm GTNN của hàm số trên 1 khoảng.

Giải chi tiết

Ta có: \(\left[ {xf'\left( x \right) - 2f\left( x \right)} \right]\ln x = {x^3} - f\left( x \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow x\ln xf'\left( x \right) - 2\ln xf\left( x \right) + f\left( x \right) = {x^3}\\ \Leftrightarrow x\ln xf'\left( x \right) + f\left( x \right)\left( {1 - 2\ln x} \right) = {x^3}\\ \Leftrightarrow f'\left( x \right) + \dfrac{{1 - 2\ln x}}{{x\ln x}}f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2}}}{{\ln x}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\ln x}}{{{x^2}}}f'\left( x \right) + \dfrac{{1 - 2\ln x}}{{x\ln x}}.\dfrac{{\ln x}}{{{x^2}}}f\left( x \right) = 1\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\ln x}}{{{x^2}}}f'\left( x \right) + \dfrac{{1 - 2\ln x}}{{{x^3}}}f\left( x \right) = 1\end{array}\)

Ta có: \(\left( {\dfrac{{\ln x}}{{{x^2}}}} \right)' = \dfrac{{\dfrac{1}{x}.{x^2} - \ln x.2x}}{{{x^4}}} = \dfrac{{1 - 2\ln x}}{{{x^3}}}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{\ln x}}{{{x^2}}}f'\left( x \right) + \left( {\dfrac{{\ln x}}{{{x^2}}}} \right)'f\left( x \right) = 1\\ \Leftrightarrow \left( {f\left( x \right)\dfrac{{\ln x}}{{{x^2}}}} \right)' = 1\\ \Leftrightarrow f\left( x \right)\dfrac{{\ln x}}{{{x^2}}} = x + C\end{array}\)

Thay \(x = \sqrt[3]{e}\) ta có:

\(\begin{array}{l}f\left( {\sqrt[3]{e}} \right)\dfrac{{\ln \sqrt[3]{e}}}{{{{\left( {\sqrt[3]{e}} \right)}^2}}} = \sqrt[3]{e} + C\\ \Leftrightarrow 3e.\dfrac{{\dfrac{1}{3}}}{{{{\left( {\sqrt[3]{e}} \right)}^2}}} = \sqrt[3]{e} + C\\ \Leftrightarrow e = e + C{\left( {\sqrt[3]{e}} \right)^2}\\ \Leftrightarrow C = 0\end{array}\)

\( \Rightarrow f\left( x \right)\dfrac{{\ln x}}{{{x^2}}} = x \Leftrightarrow f\left( x \right) = \dfrac{{{x^3}}}{{\ln x}}\).

Ta có: \(f'\left( x \right) = \dfrac{{3{x^2}\ln x - {x^3}.\dfrac{1}{x}}}{{{{\ln }^2}x}} = \dfrac{{3{x^2}\ln x - {x^2}}}{{{{\ln }^2}x}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\\ln x = \dfrac{1}{3} \Leftrightarrow x = {e^{\dfrac{1}{3}}}\end{array} \right.\).

Vậy \(\mathop {\min }\limits_{\left( {1; + \infty } \right)} f\left( x \right) = f\left( {{e^{\dfrac{1}{3}}}} \right) = \dfrac{{{{\left( {{e^{\dfrac{1}{3}}}} \right)}^3}}}{{\ln {e^{\dfrac{1}{3}}}}} = 3e \in \left( {8;10} \right).\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.