Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,y - 1 = 0\), đường thẳng

Câu hỏi số 623920:

Vận dụng cao

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,y - 1 = 0\), đường thẳng \(\Delta :\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 2 - t\\z = 1\end{array} \right.\) và hai điểm A(-1;-3;11), \(B\left( {\dfrac{1}{2};0;8} \right)\). Hai điểm M, N thuộc mặt phẳng (P) sao cho \(d\left( {M,\Delta } \right) = 2\) và NA = 2NB. Tìm giá trị lớn nhất của đoạn MN.

A. \(\dfrac{{22}}{3}\).

B. 11.

C. 12.

D. \(\dfrac{{23}}{2}\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:623920

Phương pháp giải

Chứng minh M thuộc \(\left( {I,{R_1}} \right)\), N thuộc \(\left( {J,{R_2}} \right)\).

Nếu \(IJ > {R_1} + {R_2} \Rightarrow M{N_{\max }} = IJ + {R_1} + {R_2}\).

Giải chi tiết

Dễ thấy \(\Delta \bot \left( P \right)\).

Gọi \(I = \Delta \cap \left( P \right)\).

\(\begin{array}{l} + )\,\,I \in \Delta \Rightarrow I\left( {1;2 - t;1} \right)\\ + )\,\,I \in \left( P \right) \Rightarrow 2 - t - 1 = 0 \Leftrightarrow t = 1\\ \Rightarrow I\left( {1;1;1} \right)\end{array}\)

Vì \(d\left( {M,\Delta } \right) = 2 \Rightarrow \) M thuộc đường tròn tâm I bán kính \({R_1} = 2.\)

Gọi \(N\left( {x;y;z} \right)\).

+ Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {NA} = \left( { - 1 - x; - 3 - y;11 - z} \right)\\\overrightarrow {NB} = \left( {\dfrac{1}{2} - x; - y;8 - z} \right)\end{array} \right.\)

Vì NA = 2NB

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( { - 1 - x} \right)^2} + {\left( { - 3 - y} \right)^2} + {\left( {11 - z} \right)^2} = 4{\left( {\dfrac{1}{2} - x} \right)^2} + 4{\left( { - y} \right)^2} + 4{\left( {8 - z} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 3{x^2} + 3{y^2} + 3{z^2} - 6x - 6y - 42z + 126 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 2y - 14z + 42 = 0\end{array}\)

=> N thuộc mặt cầu (S) tâm J(1;1;7), bán kính \({R_2} = 3\).

Mà \(N \in \left( P \right):\,\,y - 1 = 0,\,\,J \in \left( P \right)\).

=> N thuộc đường tròn tâm J(1;1;7), bán kính \({R_2} = 3\).

Ta có \(IJ = 6 > {R_1} + {R_2} = 5 \Rightarrow M{N_{\max }} = IJ + {R_1} + {R_2} = 11.\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.