Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên đoạn [1;2] thoả f(1) = 2, f(2) = 1 và \(\int\limits_1^2

Câu hỏi số 624318:

Vận dụng cao

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên đoạn [1;2] thoả f(1) = 2, f(2) = 1 và \(\int\limits_1^2 {{x^2}.{{(f'(x))}^2}dx = 2} \). Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(g(x) = {x^4}.f(x)\), các đường thẳng x = 1, x = 2 và trục hoành có diện tích bằng

A. \(\dfrac{{21}}{3}\).

B. \(\dfrac{{15}}{2}\).

C. \(\dfrac{{31}}{5}\).

D. 3.

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:624318

Phương pháp giải

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b], trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b được xác định : \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} \).

Giải chi tiết

\(\int\limits_1^2 {f'(x)dx = } f\left( 2 \right) - f\left( 1 \right) = 1 - 2 = - 1\).

\(\begin{array}{l}\int\limits_1^2 {{x^2}.{{(f'(x))}^2}dx = 2} \\ \Leftrightarrow \int\limits_1^2 {{x^2}.{{(f'(x))}^2}dx - 2} = 0\\ \Leftrightarrow \int\limits_1^2 {\left[ {{x^2}.{{(f'(x))}^2}} \right]dx + 2} \int\limits_1^2 {f'(x)dx = } 0\end{array}\).

\( \Leftrightarrow \int\limits_1^2 {\left[ {{x^2}.{{\left[ {f'\left( x \right)} \right]}^2} + 2f'\left( x \right)} \right]dx} = 0\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {x^2}.{\left[ {f'\left( x \right)} \right]^2} + 2f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f'\left( x \right) = 0\,\,\left( L \right)\\{x^2}.f'(x) + 2 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow f'\left( x \right) = - \dfrac{2}{{{x^2}}} \Rightarrow f\left( x \right) = \dfrac{2}{x} + C\end{array}\)

Mà \(f\left( 1 \right) = 2 \Rightarrow C = 0 \Rightarrow f\left( x \right) = \dfrac{2}{x}\).

Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(g(x) = {x^4}.f(x)\), các đường thẳng x = 1, x = 2 và trục hoành có diện tích:

\(S = \int\limits_1^2 {\left| {{x^4}f\left( x \right)} \right|dx} = \int\limits_1^2 {2{x^3}dx} = \left. {\dfrac{1}{2}{x^4}} \right|_1^2 = \dfrac{{15}}{2}\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.