Tìm giá trị nhỏ nhất của \({a^2} + {b^2}\) để hàm số \(f(x) = {x^4} + a.{x^3} + b{x^2} + ax + 1\) có
Tìm giá trị nhỏ nhất của \({a^2} + {b^2}\) để hàm số \(f(x) = {x^4} + a.{x^3} + b{x^2} + ax + 1\) có đồ thị cắt trục hoành:
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
Đánh giá phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(f(x) = {x^4} + a.{x^3} + b{x^2} + ax + 1\) và trục hoành.
Chia cả hai vế cho \({x^2}\).
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(f(x) = {x^4} + a.{x^3} + b{x^2} + ax + 1\) và trục hoành:
\({x^4} + a.{x^3} + b{x^2} + ax + 1 = 0\) (1)
Nhận thấy \(x = 0\) không phải nghiệm của (1).
Với \(x \ne 0,\,\,(1) \Leftrightarrow {x^2} + ax + b + \dfrac{a}{x} + \dfrac{1}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left( {{x^2} + \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right) + a\left( {x + \dfrac{1}{x}} \right) + b = 0\).
Đặt \(t = x + \dfrac{1}{x} \Rightarrow {x^2} + \dfrac{1}{{{x^2}}} = {t^2} - 2\). Phương trình trở thành: \({t^2} + at + b - 2 = 0\) (2).
Trong đó: \(\left| t \right| = \left| {x + \dfrac{1}{x}} \right| = \left| x \right| + \left| {\dfrac{1}{x}} \right| \ge 2\).
Phương trình (1) có nghiệm x \( \Leftrightarrow \) Phương trình (2) có nghiệm t, \(\left| t \right| \ge 2\).
(2) \( \Leftrightarrow at + b = 2 - {t^2}\).
Mà \({\left( {at + b} \right)^2} \le \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{t^2} + {1^2}} \right) \Rightarrow {\left( {2 - {t^2}} \right)^2} \le \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{t^2} + {1^2}} \right) \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} \ge \dfrac{{{{\left( {2 - {t^2}} \right)}^2}}}{{{t^2} + 1}}\).
Xét hàm số \(h\left( u \right) = \dfrac{{{{\left( {2 - u} \right)}^2}}}{{u + 1}},\,u \ge 4\), có:
\(\begin{array}{l}h'\left( u \right) = \dfrac{{ - 2\left( {2 - u} \right)\left( {u + 1} \right) - {{\left( {2 - u} \right)}^2}}}{{{{\left( {u + 1} \right)}^2}}}\\ = \dfrac{{ - \left( {2 - u} \right)\left( {2u + 2 + 2 - u} \right)}}{{{{\left( {u + 1} \right)}^2}}} = \dfrac{{ - \left( {2 - u} \right)\left( {u + 4} \right)}}{{{{\left( {u + 1} \right)}^2}}}\end{array}\)
Giải \(h'\left( u \right) = 0 \Leftrightarrow u = 2\).
\( \Rightarrow {a^2} + {b^2} \ge \dfrac{4}{5} \Rightarrow {\left( {{a^2} + {b^2}} \right)_{\min }} = \dfrac{4}{5}\) khi và chỉ khi \(\left| u \right| = 2 \Leftrightarrow {t^2} = 2 \Leftrightarrow {\left( {x + \dfrac{1}{x}} \right)^2} = 2 \Leftrightarrow x = \pm 1\).
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
