Cho các số thực a, b thỏa mãn a > b > 0 và \({\log _2}\left( {a - b} \right) = {\log _3}\left( {a + b}

Câu hỏi số 624322:

Vận dụng cao

Cho các số thực a, b thỏa mãn a > b > 0 và \({\log _2}\left( {a - b} \right) = {\log _3}\left( {a + b} \right)\). Khi biểu thức \(P = {\log _2}a + {\log _2}b + 2{\log _3}\left( {a + b} \right) - 2{\log _2}\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\) đạt giá trị lớn nhất, giá trị a - b thuộc khoảng nào sau đây?

A. (2;3).

B. (5;6).

C. (3;4).

D. (4;5).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:624322

Phương pháp giải

Khảo sát hàm số.

Giải chi tiết

Với \(a > b > 0\) và \({\log _2}\left( {a - b} \right) = {\log _3}\left( {a + b} \right)\):

\(\begin{array}{l}P = {\log _2}a + {\log _2}b + 2{\log _3}\left( {a + b} \right) - 2{\log _2}\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\\\,\,\,\, = {\log _2}a + {\log _2}b + 2{\log _2}\left( {a - b} \right) - 2{\log _2}\left( {{a^2} + {b^2}} \right)\\\,\,\,\, = {\log _2}\dfrac{{ab{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{{{{\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}^2}}}.\end{array}\)

\( \Rightarrow \dfrac{{ab{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{{{{\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}^2}}} = {2^P} = \dfrac{{\dfrac{a}{b}{{\left( {\dfrac{a}{b} - 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {{{\left( {\dfrac{a}{b}} \right)}^2} + 1} \right)}^2}}}\).

Xét hàm số \(f\left( t \right) = \dfrac{{t{{\left( {t - 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {{t^2} + 1} \right)}^2}}},t > 1\), có:

\(\begin{array}{l}f'\left( t \right) = \dfrac{{\left[ {{{\left( {t - 1} \right)}^2} + 2t\left( {t - 1} \right)} \right].{{\left( {{t^2} + 1} \right)}^2} - 2.2t\left( {{t^2} + 1} \right).t{{\left( {t - 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {{t^2} + 1} \right)}^4}}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{\left( {t - 1} \right)\left( {t - 1 + 2t} \right).{{\left( {{t^2} + 1} \right)}^2} - 4{t^2}\left( {{t^2} + 1} \right){{\left( {t - 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {{t^2} + 1} \right)}^4}}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{\left( {t - 1} \right)\left( {{t^2} + 1} \right)\left[ {\left( {3t - 1} \right).\left( {{t^2} + 1} \right) - 4{t^2}\left( {t - 1} \right)} \right]}}{{{{\left( {{t^2} + 1} \right)}^4}}}\,\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{\left( {t - 1} \right)\left( {{t^2} + 1} \right)\left[ {3{t^3} + 3t - {t^2} - 1 - 4{t^3} + 4{t^2}} \right]}}{{{{\left( {{t^2} + 1} \right)}^4}}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{\left( {t - 1} \right)\left[ { - {t^3} + 3{t^2} + 3t - 1} \right]}}{{{{\left( {{t^2} + 1} \right)}^3}}}.\end{array}\)

\(f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \pm 1\\t = 2 \pm \sqrt 3 \end{array} \right.\).

Ta có bảng sau:

\( \Rightarrow {2^P}_{\max } = \dfrac{1}{8} \Leftrightarrow {P_{\max }} = - 3\) khi \(t = 2 + \sqrt 3 \Leftrightarrow \dfrac{a}{b} = 2 + \sqrt 3 \Rightarrow a = \left( {2 + \sqrt 3 } \right)b\).

Đồng thời \({\log _2}\left( {a - b} \right) = {\log _3}\left( {a + b} \right) \Rightarrow {\log _2}\left( {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)b - b} \right) = {\log _3}\left( {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)b + b} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\log _2}\left( {\left( {1 + \sqrt 3 } \right)b} \right) = {\log _3}\left( {\left( {3 + \sqrt 3 } \right)b} \right)\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {1 + \sqrt 3 } \right) + {\log _2}b = {\log _3}\left( {3 + \sqrt 3 } \right) + {\log _3}b\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\log _2}b - {\log _2}b.{\log _3}2 = {\log _3}\left( {3 + \sqrt 3 } \right) - {\log _2}\left( {1 + \sqrt 3 } \right)\\ \Leftrightarrow {\log _2}b\left( {1 - {{\log }_3}2} \right) = {\log _3}\left( {3 + \sqrt 3 } \right) - {\log _2}\left( {1 + \sqrt 3 } \right)\\ \Leftrightarrow {\log _2}b = \dfrac{{{{\log }_3}\left( {3 + \sqrt 3 } \right) - {{\log }_2}\left( {1 + \sqrt 3 } \right)}}{{1 - {{\log }_3}2}}.\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow b = {2^{\dfrac{{{{\log }_3}\left( {3 + \sqrt 3 } \right) - {{\log }_2}\left( {1 + \sqrt 3 } \right)}}{{1 - {{\log }_3}2}}}} \approx 0,936\\ \Rightarrow a - b = \left( {1 + \sqrt 3 } \right)b \approx 2,558 \in \left( {2;3} \right)\end{array}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.