Chứng minh rằng \(8 + 4\tan \dfrac{\pi }{8} + 2\tan \dfrac{\pi }{{16}} + \tan \dfrac{\pi }{{32}} = \cot \dfrac{\pi

Câu hỏi số 629310:

Vận dụng

Chứng minh rằng \(8 + 4\tan \dfrac{\pi }{8} + 2\tan \dfrac{\pi }{{16}} + \tan \dfrac{\pi }{{32}} = \cot \dfrac{\pi }{{32}}\,\,\left( * \right)\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:629310

Phương pháp giải

Chứng minh đẳng thức phụ \(\cot a - \tan a = 2\cot 2a\).

Giải chi tiết

Ta có: \(\left( * \right) \Leftrightarrow 8 = \cot \dfrac{\pi }{{32}} - 4\tan \dfrac{\pi }{8} - 2\tan \dfrac{\pi }{{16}} - \tan \dfrac{\pi }{{32}}\).

Xét \(\cot a - \tan a = \dfrac{{\cos a}}{{\sin a}} - \dfrac{{\sin a}}{{\cos a}} = \dfrac{{{{\cos }^2}a - {{\sin }^2}a}}{{\sin a\cos a}} = \dfrac{{2\cos 2a}}{{\sin 2a}} = 2\cot 2a\).

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}8 = \left( {\cot \dfrac{\pi }{{32}} - \tan \dfrac{\pi }{{32}}} \right) - 4\tan \dfrac{\pi }{8} - 2\tan \dfrac{\pi }{{16}}\\ \Leftrightarrow 8 = 2\cot \dfrac{\pi }{{16}} - 4\tan \dfrac{\pi }{8} - 2\tan \dfrac{\pi }{{16}}\\ \Leftrightarrow 8 = 2\left( {\cot \dfrac{\pi }{{16}} - \tan \dfrac{\pi }{{16}}} \right) - 4\tan \dfrac{\pi }{8}\\ \Leftrightarrow 8 = 4\cot \dfrac{\pi }{8} - 4\tan \dfrac{\pi }{8}\\ \Leftrightarrow 8 = 4\left( {\cot \dfrac{\pi }{8} - \tan \dfrac{\pi }{8}} \right)\end{array}\)

\( \Leftrightarrow 8 = 8\cot \dfrac{\pi }{4}\) (hiển nhiên đúng).

Vậy đẳng thức được chứng minh.

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.