Có bao nhiêu số nguyên \(x\) sao cho ứng với mỗi \(x\) có không quá 127 số nguyên \(y\) thỏa mã

Câu hỏi số 632006:

Vận dụng cao

Có bao nhiêu số nguyên \(x\) sao cho ứng với mỗi \(x\) có không quá 127 số nguyên \(y\) thỏa mã \({\log _3}\left( {{x^2} + y} \right) \ge {\log _2}(x + y)?\)

A. 89 .

B. 90 .

C. 46 .

D. 45 .

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:632006

Phương pháp giải

Giải bất phương trình lôgarit.

Giải chi tiết

Điều kiện \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + y > 0}\\{x + y > 0}\end{array}} \right.\). Ta có

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{\log _3}\left( {{x^2} + y} \right) \ge {\log _2}(x + y)\\ \Leftrightarrow {x^2} + y \ge {3^{{{\log }_2}(x + y)}} \Leftrightarrow {x^2} + y \ge {(x + y)^{{{\log }_2}3}}\\ \Leftrightarrow {x^2} - x \ge {(x + y)^{{{\log }_2}3}} - (x + y).\,\,\,(1)\end{array}\)

Đặt \(x + y = t\,\,\left( {t > 0} \right)\), khi đó phương trình (1) trở thành \({x^2} - x \ge {t^{{{\log }_2}3}} - t\,\,\left( 2 \right)\).

Với mỗi số nguyên x có không quá 127 số nguyên y thỏa mãn (1).

Suy ra với mỗi số nguyên \(x\) có không quá 127 số nguyên dương \(t\,\,\left( {t \in {\mathbb{N}^*}} \right)\) thỏa mãn (2).

Xét hàm số \(f(t) = {t^{{{\log }_2}3}} - t\) ta có \(f'(t) = \left( {{{\log }_2}3} \right) \cdot {t^{\left( {{{\log }_2}3} \right) - 1}} - 1 > 0,\,\,\forall t \in {\mathbb{N}^*}\).

Suy ra \(f(t)\) đồng biến trên \({\mathbb{N}^*}\).

Nếu có quá 127 số nguyên dương \(t\) thì \({x^2} - x > {128^{{{\log }_2}3}} - 128 = 2059\).

Yêu cầu bài toán trở thành

\({x^2} - x \le 2059 \Leftrightarrow {x^2} - x - 2059 \le 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 44 \le x \le 45}\\{x \in \mathbb{Z}}\end{array} \Rightarrow x \in \{ - 44, - 43, \ldots ,45\} } \right.\).

Vậy có 90 số nguyên x thoả mãn.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.