Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(f\left( 1 \right) =

Câu hỏi số 633037:

Vận dụng cao

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(f\left( 1 \right) = 1,\) \(f\left( 2 \right) = 4\). Tích phân \(J = \int\limits_1^2 {\left[ {\dfrac{{f'\left( x \right) + 2}}{x} - \dfrac{{f\left( x \right) + 1}}{{{x^2}}}} \right]dx} \) bằng

A. \(J = 4 - \ln 2\).

B. \(J = \ln 2 - \dfrac{1}{2}\).

C. \(J = \dfrac{1}{2} + \ln 4\).

D. \(J = 1 + \ln 4\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:633037

Phương pháp giải

Biến đổi: \(J = \int\limits_1^2 {\dfrac{{xf'\left( x \right) - f\left( x \right)}}{{{x^2}}}} dx + \int\limits_1^2 {\dfrac{2}{x}dx} - \int\limits_1^2 {\dfrac{1}{{{x^2}}}dx} \).

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}J = \int\limits_1^2 {\left[ {\dfrac{{f'\left( x \right) + 2}}{x} - \dfrac{{f\left( x \right) + 1}}{{{x^2}}}} \right]dx} \\\,\,\,\, = \int\limits_1^2 {\left( {\dfrac{{f'\left( x \right)}}{x} - \dfrac{{f\left( x \right)}}{{{x^2}}} + \dfrac{2}{x} - \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right)dx} \\\,\,\,\, = \int\limits_1^2 {\dfrac{{xf'\left( x \right) - f\left( x \right)}}{{{x^2}}}} dx + \int\limits_1^2 {\dfrac{2}{x}dx} - \int\limits_1^2 {\dfrac{1}{{{x^2}}}dx} \\\,\,\,\, = \int\limits_1^2 {\left( {\dfrac{{f\left( x \right)}}{x}} \right)'dx} + \int\limits_1^2 {\dfrac{2}{x}dx} - \int\limits_1^2 {\dfrac{1}{{{x^2}}}dx} \\\,\,\,\, = \left. {\dfrac{{f\left( x \right)}}{x}} \right|_1^2 + \left. {2\ln \left| x \right|} \right|_1^2 + \left. {\dfrac{1}{x}} \right|_1^2\\\,\,\,\, = \dfrac{{f\left( 2 \right)}}{2} - f\left( 1 \right) + 2\ln 2 + \dfrac{1}{2} - 1\\\,\,\,\, = \dfrac{1}{2} + \ln 4\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.