Cho tứ diện ABCD. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AC và BC. Trên cạnh BD lấy điểm K
Cho tứ diện ABCD. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AC và BC. Trên cạnh BD lấy điểm K sao cho B K = 2KD
a) Tìm giao điểm E của CD với $\left( IJK \right)$. Chứng minh: \(DE=DC\).
b) Tìm giao điểm F của AD với $\left( IJK \right)$. Chứng minh: $FA=2FD$ và \(FK\parallel IJ\)
c) Gọi M và N là hai điểm bất kì lần lượt nằm trên hai cạnh AB và CD. Tìm giao điểm của MN với $\left( IJK \right)$
Quảng cáo
a) Trong mặt phẳng $(B C D)$ kéo dài JK cắt CD tại $E$.
$E \in C D$
Lại có $E \in K J \subset(I J K)$.
Suy ra $E=C D \cap(I J K)$.
Trong mặt phẳng $(B C D)$ lấy điểm $E'$ thuộc đường thẳng DC sao cho $D$ là trung điểm của $E^{\prime} C$.
Xét $\Delta {{E}^{\prime }}BC$ có BD và $E^{\prime} J$ là các đường trung tuyến.
Vì $B K=2 K D$ nên $K$ là trọng tâm $\Delta {{E}^{\prime }}BC$.
Suy ra $E^{\prime}, K, J$ thẳng hàng.
$\Rightarrow {{E}^{\prime }}=DC\cap KJ$.
Vậy $E^{\prime} \equiv E$.
Suy ra $D E=D C$.
b) Trong mặt phẳng $(A C D)$, nối $I$ với $E$ cắt AD tại $F$.
$F \in A D$ và vì $F \in E I \subset(I J K)$ nên $F \in(I J K)$.
Vậy $F=A D \cap(I J K)$.
Trong $\Delta AEC$, vì các điểm D, I lần lượt là trung điểm của EC và AC nên $F=A D \cap E I$ chính là trọng tâm của $\Delta AEC$.
Theo tính chất trọng tâm tam giác ta có $F A=2 F D$.
Vì I J là đường trung bình của tam giác A B C nên $I J \| A B$.
Mặt khác, vì $\dfrac{D K}{D B}=\dfrac{D F}{D A}=\dfrac{1}{3}$ nên theo Định lý Talet ta có $F K \| A B$.
Từ đó suy ra $F K \| I J$.
c) Trong mặt phẳng $(B C D)$ nối $B$ với $N$ cắt K J tại $Q$.
Ta có $Q \in(I J K)$.
Trong mặt phẳng ( $A D C)$ nối $A$ với $N$ cắt E I tại $P$.
Vì $(I J K) \equiv(I E J)$ nên $P \in E I \subset(I E J) \Rightarrow P \in(I J K)$.
Trong mặt phẳng $(A B N)$ nối $P$ với $Q$ cắt M N tại $H$.
Lúc đó, vì $H \in P Q \subset(I J K)$ nên $H \in(I J K)$.
Vậy $H=M N \cap(I J K)$.
Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
