Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD cạnh AB = 2a, BC = a, SA vuông góc với mặt đáy

Câu hỏi số 634071:

Vận dụng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD cạnh AB = 2a, BC = a, SA vuông góc với mặt đáy và cạnh SC tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc \(\alpha \) có \(\tan \alpha = \dfrac{{\sqrt 5 }}{5}\). Gọi E, F lần lượt là các điểm nằm trên cạnh SB, SD sao cho SB = 2SE, SD = 3SF. Thể tích V của khối tứ diện AEFC là

A. \(V = \dfrac{{{a^3}}}{3}\).

B. \(V = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\).

C. \(V = \dfrac{{{a^3}}}{6}\).

D. \(V = \dfrac{{{a^3}}}{2}\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:634071

Phương pháp giải

Lập tỉ số thể tích khối tứ diện \(AEFC\) và khối chóp \(S.ABCD\).

Sử dụng công thức tỉ số thể tích cho khối chóp tam giác

Cho khối chóp S.ABC, các điểm \({A_1},\,{B_1},\,{C_1}\] lần lượt thuộc \(SA,\,SB,\,SC\]. Khi đó, \(\dfrac{{{V_{S.\,{A_1}{B_1}{C_1}}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{S{A_1}}}{{SA}}.\dfrac{{S{B_1}}}{{SB}}.\dfrac{{S{C_1}}}{{SC}}\]

Giải chi tiết

Ta có: \({V_{AEFC}} = {V_{S.ABCD}} - \left( {{V_{S.AEF}} + {V_{S.CEF}} + {V_{B.AEC}} + {V_{D.ACF}}} \right)\)

\( = {V_{S.ABCD}} - \left( {\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{3}{V_{S.ABD}} + \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{3}{V_{S.CBD}} + \dfrac{1}{2}{V_{B.SAC}} + \dfrac{2}{3}{V_{D.ACS}}} \right)\)

\( = {V_{S.ABCD}} - \left( {\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}{V_{S.ABCD}} + \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}{V_{S.ABCD}} + \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}{V_{S.ABCD}} + \dfrac{2}{3}.\dfrac{1}{2}{V_{S.ABCD}}} \right)\)

\( = \dfrac{1}{4}{V_{S.ABCD}}\).

\(SA\) vuông góc với mặt đáy.

\( \Rightarrow \left( {SC;\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle SCA \Rightarrow \tan \angle SCA = \dfrac{{\sqrt 5 }}{5}\).

Vì ABCD là hình chữ nhật, có AB = 2a, BC = a.

\( \Rightarrow AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {4{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 5 \).

Tam giác SAC vuông tại A \( \Rightarrow \tan \widehat {SCA} = \dfrac{{SA}}{{AC}} \Rightarrow \dfrac{{SA}}{{a\sqrt 5 }} = \dfrac{{\sqrt 5 }}{5} \Rightarrow SA = a\).

Thể tích khối chóp S.ABCD là: \(V = \dfrac{1}{3}{S_{ABCD}}.SA = \dfrac{1}{3}.2a.a.a = \dfrac{2}{3}{a^3}\).

Thể tích V của khối tứ diện \(AEFC\) là: \(V = \dfrac{1}{4}.\dfrac{2}{3}{a^3} = \dfrac{1}{6}{a^3}\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.