Phương trình \({z^2} + az + b = 0\) (với \(a,b \in \mathbb{R}\)) có hai nghiệm \({z_1},\,\,{z_2}\) không là

Câu hỏi số 634075:

Vận dụng cao

Phương trình \({z^2} + az + b = 0\) (với \(a,b \in \mathbb{R}\)) có hai nghiệm \({z_1},\,\,{z_2}\) không là số thực thỏa mãn hệ thức \(i.\left| {{z_1}} \right| = {z_2} + i - 3\). Giá trị của \(2a + b\) bằng

A. 10.

B. 37.

C. 13.

D. 19.

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:634075

Phương pháp giải

Phương trình \({z^2} + az + b = 0\) (với \(a,b \in \mathbb{R}\)) có hai nghiệm \({z_1},{z_2}\) không là số thực \( \Rightarrow {z_1},{z_2}\) là hai số phức liên hợp.

Sử dụng định lí Vi-et.

Giải chi tiết

Phương trình \({z^2} + az + b = 0\) (với \(a,b \in \mathbb{R}\)) có hai nghiệm \({z_1},{z_2}\) không là số thực \( \Rightarrow {z_1},{z_2}\) là hai số phức liên hợp.

Giả sử \({z_1} = x + yi,{z_2} = x - yi\,\,\,\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)\).

Ta có: \(i.\left| {{z_1}} \right| = {z_2} + i - 3 \Leftrightarrow i.\sqrt {{x^2} + {y^2}} = x - yi + i - 3 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 3 = 0\\\sqrt {{x^2} + {y^2}} = 1 - y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\\sqrt {{y^2} + 9} = 1 - y\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\{y^2} + 9 = 1 - 2y + {y^2}\\y \le 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = - 4\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{z_1} = 3 - 4i\\{z_2} = 3 + 4i\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{z_1} + {z_2} = 6\\{z_1}{z_2} = 25\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 6\\b = 25\end{array} \right.\).

Khi đó: \(2a + b = - 12 + 25 = 13\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.