Tính tổng các nghiệm của phương trình \(\sin \left( {5x + \dfrac{\pi }{3}} \right) = \cos \left( {2x -

Câu hỏi số 634273:

Vận dụng

Tính tổng các nghiệm của phương trình \(\sin \left( {5x + \dfrac{\pi }{3}} \right) = \cos \left( {2x - \dfrac{\pi }{3}} \right)\) trên \(\left[ {0;\pi } \right]\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:634273

Phương pháp giải

Sử dụng mối quan hệ giá trị lượng giác giữa hai góc phụ nhau: \(\cos x = \sin \left( {\dfrac{\pi }{2} - x} \right)\).

Đưa về phương trình lượng giác cơ bản và giải: \(\sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Giải điều kiện \(0 \le x \le \pi \) tìm k nguyên thoả mãn, suy ra các nghiệm của phương trình trên \(\left[ {0;\pi } \right]\) và tính tổng của chúng.

Giải chi tiết

Ta có: \(\sin \left( {5x + \dfrac{\pi }{3}} \right) = \cos \left( {2x - \dfrac{\pi }{3}} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sin \left( {5x + \dfrac{\pi }{3}} \right) = \sin \left( {\dfrac{\pi }{2} - 2x + \dfrac{\pi }{3}} \right) = \sin \left( {\dfrac{{5\pi }}{6} - 2x} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}5x + \dfrac{\pi }{3} = \dfrac{{5\pi }}{6} - 2x + k2\pi \\5x + \dfrac{\pi }{3} = \pi - \dfrac{{5\pi }}{6} + 2x + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{{14}} + k\dfrac{{2\pi }}{7}\\x = - \dfrac{\pi }{{18}} + k\dfrac{{2\pi }}{3}\end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

+ Với \(x = \dfrac{\pi }{{14}} + k\dfrac{{2\pi }}{7} \Rightarrow 0 \le \dfrac{\pi }{{14}} + k\dfrac{{2\pi }}{7} \le \pi \)\( \Leftrightarrow - \dfrac{1}{4} \le k \le \dfrac{{13}}{4}\).

Mà \(k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k \in \left\{ {0;1;2;3} \right\}\).

Suy ra các nghiệm \(x = \dfrac{\pi }{{14}},\,\,x = \dfrac{{5\pi }}{{14}},\,\,x = \dfrac{{9\pi }}{{14}},\,\,x = \dfrac{{13\pi }}{{14}}\).

+ Với \(x = - \dfrac{\pi }{{18}} + k\dfrac{{2\pi }}{3} \Rightarrow 0 \le - \dfrac{\pi }{{18}} + k\dfrac{{2\pi }}{3} \le \pi \)\( \Leftrightarrow \dfrac{1}{{12}} \le k \le \dfrac{{19}}{{12}}\).

Mà \(k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k = 1\).

Suy ra các nghiệm \(x = \dfrac{{11\pi }}{{18}}\).

Vậy tổng các nghiệm của phương trình đã cho trên \(\left[ {0;\pi } \right]\) bằng \(\dfrac{{47\pi }}{{18}}.\)

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.