Tìm số nghiệm nguyên dương của phương trình \(\sin \left[ {\dfrac{\pi }{4}\left( {3x - \sqrt {9{x^2} - 16x

Câu hỏi số 634274:

Vận dụng cao

Tìm số nghiệm nguyên dương của phương trình \(\sin \left[ {\dfrac{\pi }{4}\left( {3x - \sqrt {9{x^2} - 16x - 80} } \right)} \right] = 0\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:634274

Phương pháp giải

Giải phương trình lượng giác cơ bản: \(\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Giải phương trình chứa căn: \(\sqrt {f\left( x \right)} = g\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}g\left( x \right) \ge 0\\f\left( x \right) = {g^2}\left( x \right)\end{array} \right.\).

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\sin \left[ {\dfrac{\pi }{4}\left( {3x - \sqrt {9{x^2} - 16x - 80} } \right)} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{\pi }{4}\left( {3x - \sqrt {9{x^2} - 16x - 80} } \right) = k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\\ \Leftrightarrow 3x - \sqrt {9{x^2} - 16x - 80} = 4k\\ \Leftrightarrow \sqrt {9{x^2} - 16x - 80} = 3x - 4k\\DKXD:\,\,\left[ \begin{array}{l}x \ge 4\\x \le - \dfrac{{20}}{9}\end{array} \right..\,\,Do\,\,x \in {\mathbb{Z}^ + } \Rightarrow x \ge 4\\pt \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge \dfrac{{4k}}{3}\\9{x^2} - 16x - 80 = {\left( {3x - 4k} \right)^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge \dfrac{{4k}}{3}\\x = \dfrac{{2{k^2} + 10}}{{3k - 2}}\end{array} \right.\end{array}\)

Ycbt \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{2{k^2} + 10}}{{3k - 2}} \ge \dfrac{{4k}}{3}\\x = \dfrac{{2{k^2} + 10}}{{3k - 2}} \ge 4\\\dfrac{{2{k^2} + 10}}{{3k - 2}} \in \mathbb{Z}\end{array} \right.\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{2{k^2} + 10}}{{3k - 2}} \ge \dfrac{{4k}}{3}\\\dfrac{{2{k^2} + 10}}{{3k - 2}} \ge 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{ - 6{k^2} + 8k + 30}}{{3k - 2}} \ge 0\\\dfrac{{2{k^2} - 12k + 18}}{{3k - 2}} \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \dfrac{2}{3} < k \le 3\).

Vì \(k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k \in \left\{ {1;2;3} \right\}\).

Với \(k = 1 \Rightarrow \dfrac{{2{k^2} + 10}}{{3k - 2}} = 12 \in \mathbb{Z}\).

Với \(k = 2 \Rightarrow \dfrac{{2{k^2} + 10}}{{3k - 2}} = \dfrac{9}{2} \notin \mathbb{Z}\).

Với \(k = 3 \Rightarrow \dfrac{{2{k^2} + 10}}{{3k - 2}} = 4 \in \mathbb{Z}\).

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm nguyên dương thoả mãn là x = 4 và x = 12.

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.